| Project/Area Number |
22K03257
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
尾崎 学 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (80287961)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000)
Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 単数群 / ガロワ加群構造 / 全円分拡大 / Dedekindゼータ函数 / Weilの定理 / 岩澤理論 / Galois群 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究は従来の代数体の円分Ｚ_p-拡大の岩澤理論を，すべての１の冪根で生成される拡大である全円分拡大に拡張して全円分拡大の岩澤理論の構築を目標とする．それによって，ゼータ函数と代数体の算術の関係をより深く理解することが可能になることが期待できる．
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| Outline of Annual Research Achievements |
２０２３年度の研究成果は以下の通りである。
代数体のガロワ拡大K/kに対して，Kの単数群U(K)のG=Gal(K/k)-加群構造は代数的整数論における主要な研究対象の一つである。さらに言えば本研究の主題である全円分拡大という無限次拡大の数論を展開する上でも重要な対象である．U(K)/μ(K)は有限生成Z[G]-latticeになり（μ(K)はKに含まれる1の冪根全体），Herbrandの定理によりE(K)にQをtensorしたときの構造は完全に知られている．しかし一般の有限群Gに対してZ[G]-latticeの分類は極めて困難である．そこでU(K)/μ(K)にZ_p（p-進整数環）をtensorしたZ_p[G]-lattice E(K)を考える．Z_p[G]-latticeの分類も良く判っていないが（例えばGのSylow p-部分群が位数pかp^2の巡回群でない場合には直既約Z_p[G]-latticeの同型類は無数に存在する）， E(K)の方が取り扱い易い。そこで本研究ではE(K)としてどのようなZ_p[G]-latticeが現われるかという問題を考察して次のような定理を得た：
定理 奇素数pに対してGを巡回p-群とする。そしてCをQ_pをtensorしたときにHerbrandの定理から来る単数群の必要条件を満たすような任意のZ_p[G]-latticeとする。このとき不分岐G-拡大K/kで，E(K)がCと自由Z_p[G]-加群の直和と同型になるようなものが存在する。
Gの位数がp^3以上の場合には直既約Z_p[G]-latticeの同型類が無数に存在することを考えれば，驚くべき結果と言える．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究に必要な知見が新たに得られたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
２０２３年度の研究成果をGが一般の有限p-群の場合に拡張する方法を研究する。さらにはより精密にK/kに条件を付加した場合にE(K)として現れるZ_p[G]-latticeにどのような制限が加わるかを調べる。
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