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準単項的付値による双有理幾何学とK安定性

Research Project

Project/Area Number 22K03269
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 11010:Algebra-related
Research InstitutionOsaka University

Principal Investigator

藤田 健人  大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (40779146)

Project Period (FY) 2022-04-01 – 2027-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
KeywordsK安定性 / 極小モデル理論
Outline of Research at the Start

近年準単項的付値を用いることでファノ多様体のK安定性の基礎理論が大いに進展した。本研究課題はこの進展を一般の偏極代数多様体にどこまで拡張できるかを双有理幾何学の観点から見定めることを目的とする。例えば一般の偏極代数多様体のK安定性も上記のファノ多様体のK安定性での成功例同様に簡略化できるのではなかろうかと期待する。

Outline of Annual Research Achievements

ファノ多様体或いは一般の偏極代数多様体に対し、そのK安定性なる代数的安定性条件を考えることは、定スカラー曲率ケーラー計量の存在問題と関連し重要な問題である。考える偏極代数多様体がファノ多様体の場合は、付値判定法の理解の深化によって近年大きな発展を遂げたことは良く知られている。他方ファノ多様体とは限らない一般の偏極代数多様体に対しては、前述のファノ多様体のようには上手くいかず、その困難を如何にして打破するかを準単項的付値を主題として理解しよう、という試みを行っている。まずはそもそもK安定性に対し如何にして種々のテスト配位に付随するドナルドソン・二木不変量がふるまうのかを多くの例で計算した。その成果として、香川大学の四ッ谷直仁氏との共同研究で、「どの偏極でもK半安定なボット多様体は射影直線の積に限る」という結果を得て、今年度それがオンラインで出版された。また、ファノ多様体のKモジュライ空間の(境界を含めた)理解も研究の過程で重要であることを認識した。この方向では、Edinburgh大学のCheltsov氏、埼玉大学の岸本崇氏、九州大学の岡田拓三氏との共同研究である、3次元ファノ多様体のある族の全ての非特異元のK安定性を決定した論文が今年度出版された。また(これ自身は前年度以前に完成していたが)合計9人で執筆した3次元ファノ多様体に関するカラビ予想の書籍、そしてとある3次元ファノ多様体のK安定性を決定し更にAbban-Zhuangの理論に関する計算公式を導出した単著論文が今年度出版された。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

一般偏極の代数多様体のK安定性は、簡単な代数多様体であっても判定が難しく、「付値判定法」のような準単項的付値の言葉での翻訳はそのままでは期待できないことが分かった。なので当初の研究プランから少しずれることになるが、ファノ多様体の場合に戻り、Kモジュライ空間の特定というアプローチで研究を進めており、その方向では現在進行中の計画を含め順調に研究が進んでいる。

Strategy for Future Research Activity

上述のように、ファノ多様体のK安定性、しかしながら個々の3次元の族に対しコンパクト化されたKモジュライ空間まで込めて理解する、という試みで研究を進める予定である。またファノ多様体上ではあるが反標準因子がいくつかの固定された豊富因子の和で書かれているような状況でのK安定性の類似についても現在研究を進めている。

Report

(2 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • Research Products

    (20 results)

All 2024 2023 2022 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (5 results) (of which Int'l Joint Research: 4 results,  Peer Reviewed: 5 results,  Open Access: 1 results) Presentation (14 results) (of which Int'l Joint Research: 11 results,  Invited: 14 results)

  • [Int'l Joint Research] University of Edinburgh(英国)

    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Journal Article] Strong Calabi dream Bott manifolds2024

    • Author(s)
      Fujita Kento、Yotsutani Naoto
    • Journal Title

      ANNALI DELL'UNIVERSITA' DI FERRARA

      Volume: - Issue: 3 Pages: 607-630

    • DOI

      10.1007/s11565-023-00484-3

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] The Calabi Problem for Fano Threefolds2023

    • Author(s)
      Araujo Carolina、Castravet Ana-Maria、Cheltsov Ivan、Fujita Kento、Kaloghiros Anne-Sophie、Martinez-Garcia Jesus、Shramov Constantin、Suess Hendrik、Viswanathan Nivedita
    • Journal Title

      Cambridge University Press

      Volume: 485 Pages: 1-442

    • DOI

      10.1017/9781009193382

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] K-stable divisors in P1xP1xP2 of degree (1,1,2)2023

    • Author(s)
      Ivan Cheltsov, Kento Fujita, Takashi Kishimoto, Takuzo Okada
    • Journal Title

      Nagoya Mathematical Journal

      Volume: - Pages: 1-29

    • DOI

      10.1017/nmj.2023.5

    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Fano manifolds with many free divisors2022

    • Author(s)
      Fujita Kento
    • Journal Title

      European Journal of Mathematics

      Volume: 8 Issue: 3 Pages: 909-931

    • DOI

      10.1007/s40879-022-00559-z

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] On K-Stability for Fano Threefolds of Rank 3 and Degree 282022

    • Author(s)
      Fujita Kento
    • Journal Title

      International Mathematics Research Notices

      Volume: - Issue: 15 Pages: 12601-12784

    • DOI

      10.1093/imrn/rnac190

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Presentation] On the Calabi problem for Fano varieties2024

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      杉本代数セミナー(大阪公立大学)
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  • [Presentation] ファノ多様体のK安定性の判定法について2024

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      日本数学会
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      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] 3次元ファノ多様体のカラビの問題について2024

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      日本数学会
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      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] The Calabi problem for Fano threefolds2023

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      Geometry in Istanbul, Bogazici University
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      2023 Research-status Report
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  • [Presentation] The Calabi problem for Fano threefolds2023

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      Workshop on Moduli, K-stability, Fano varieties, and related topics, IBS
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  • [Presentation] K-stability of Casagrande-Druel varieties2023

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      K-stability and Birational Geometry, Clay Mathematics Institute
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      2023 Research-status Report
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  • [Presentation] K-stability of Casagrande-Druel varieties2023

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      Fano varieties, their Geometry and Moduli, KIAS
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      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] K-stability of Casagrande-Druel varieties2023

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      第29回複素幾何シンポジウム(金沢)
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      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] On the Calabi problem for Fano varieties2023

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      Algebraic Geometry, Lipschitz Geometry and Singularities, Pipa
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    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] The Calabi problem for Fano threefolds2022

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      Pacific Rim Complex and Symplectic Geometry Conference
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  • [Presentation] The Calabi problem for Fano threefolds2022

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      Recent Advances in Classical Algebraic Geometry (online)
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  • [Presentation] The Calabi problem for Fano threefolds2022

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      IBS-CGP 10th Anniversary Conference
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      2022 Research-status Report
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  • [Presentation] The Calabi problem for Fano threefolds2022

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      MPS conference on higher dimensional geometry
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      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] The Calabi problem for Fano threefolds2022

    • Author(s)
      Kento Fujita
    • Organizer
      Birational Geometry and Kstability of Fano varieties
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      2022 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2022-04-19   Modified: 2024-12-25  

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