| Project/Area Number |
22K03275
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
中野 哲夫 東京電機大学, 理工学部, 特定教授 (00217796)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2025: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2023: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2022: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
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| Keywords | ブーリアングレブナ基底 / 数独パズル / 井上アルゴリズム / CIIアルゴリズム / MDSL予想 / モジュライ空間 / 群作用 / グレブナ基底 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究の目的は代数群の作用を受ける代数多様体に関する2つのテーマ
【テーマI】Weierstrass空隙値列を指定した点付き代数曲線のモジュライ空間の構造
【テーマII】d次元群論的極小有理代数多様体とその拡張クラスUS(d)の研究
を行うことである．テーマIについては，標数0での有理性予想，正標数へのPinkham 理論の拡張およびモジュライ空間のコンパクト化の３つの課題について研究を行う．テーマIIについては，単純代数群が非自明に作用する3次元非特異射影代数多様体のクラスであるUS(3)の同変的双有理幾何，特に極小モデルの分類の完成と，4次元群論的極小有理代数多様体の構造研究を行う．
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| Outline of Annual Research Achievements |
数独は世界的に人気のあるパズルであるが，筆者はその数学的構造をブーリアングレブナ基底を用いて研究している．数独パズルは，81個の変数をもつブール多項式環の中で999本＋初期値の個数本のブール方程式で表すことができ，これらの生成するイデアルを考えることで，さまざまなブール環の代数的手法を使えるのである．
イデアルに関する具体的な計算はブーリアングレブナ基底を用いて計算機で実行可能であり，筆者達のグループはこのアルゴリズムを数式処理システム Magma に実装し，多量の計算実験を可能にした．
筆者が特に重点的に研究しているのは，数独パズルの難易度判定に数独のイデアルから定義できる数学的不変量を使うというテーマである．例えば，基本可解と呼ばれる種類の初中級程度のパズルについては，基本ランクと呼ばれる不変量が難易度と強い正の相関をもっていて，基本ランクで難易度を判定できることが分かっている．ただ，基本ランクは基本可解でない上級のパズルについては定義できない．そこで，筆者はCIIアルゴリズムというものを定義し，これを用いてSMYI というすべての数独に定義でき簡単に計算できる不変量を導入し，これが難易度と強い正の相関があることを示した．さらに，上級のパズルについては従来s-ランクと呼ばれる別の不変量が提唱されていたが，s-ランクでは粗すぎて難易度判定には不向きである．そこで，筆者はs-ランクを改良した s_∞ランクという不変量を定義し，これが難易度と強い相関があることを示した．さらに，実験の結果，s_∞ランク∞でLACと呼ばれる不変量が0であるパズルが最も数学的に難しいことを発見した．このクラスのパズルは戦術閉と呼ばれる際立った特徴をもち，数学的にもっとも難しいパズルであり，今後，その数学的構造の研究が待たれる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
まずいくつかの不変量の定義を述べよう．まず，筆者は，数独の標準的数学解法である井上アルゴリズムを拡張したCIIアルゴリズムというものを定義し，その実行課程を樹形図（CII樹形図）で表した．このCII樹形図の大きさは，節，葉等の数で概ね表せるので，これがSMYI不変量である．従って，SMYIはCIIアルゴリズムの実行手順の複雑さを表す量と言える．
筆者はSMYIと，人間の定めた難易度の付いているパズルの難易度を比較し，高い相関があることを確認した．従って，SMYI は数独パズルの数学的難易度指標として標準的に使用できる．
次に，s_∞ランクについて述べる．任意のパズルの初期イデアルに対して，戦術閉包と呼ばれる拡張されたイデアルを定義することができる．戦術閉包を取る操作は，非常に強力な数独の解法であって，通常の数独パズルは戦術閉包をとるだけで解けた形（極大イデアル）になってしまう．戦術閉包は初期イデアル I から出発して戦術閉包で終るある種のイデアルの昇鎖を用いて定義できるが，その昇鎖の長さをs_∞ランクと呼ぶ．昇鎖の最後（戦術閉包）が極大イデアルにならない場合は，s_∞ランクは∞と定め，昇鎖の長さをLAC(Length of Ascending Chain)と呼ぶ．筆者は1000問ほどの数独パズルについて，これらの不変量を計算して次の結果を得た．まず，s_∞ランクが有限（戦術閉包=極大イデアル）の場合は，s_∞ランクとSMYIの間には強い正の相関がある．s_∞ランクが∞の場合は，s_∞ランクとLACには強い負の相関がある．s_∞ランクが∞のパズルは超難問に限るので，数学的には，s_∞ランクが∞でLAC=0 のパズルが最も難しいという結論が得られた．このクラスのパズルは初期イデアル=戦術閉包という著しい特徴をもち，戦術閉なパズルと名付けた．以上の結果は，現在，論文準備中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究は以下の２つのテーマを中心に進めていく予定である．
一つ目は，数学的にもっとも難しいことが判明した「戦術閉なパズル」の数学的構造の研究である．まずは，戦術閉なパズルを作る（構成する）方法は手がつけやすいと思う．初期イデアル＝戦術閉包であるとき，その初期イデアルの数学的特徴を抽出することから始めて，戦術閉なパズルの構成に進む予定である．
二つ目はMDSL予想の研究である．MDSL予想とは数独の数学的標準解法である井上アルゴリズムで数独を解く場合，最短手順はどの程度のものか，という疑問に関する基本予想である．井上アルゴリズムでは，初期イデアル（ヒント）から出発して一意に埋まるマスを可能な限り埋めてしまうと，もう一意に埋まるマスがない状態に到達する．この状態を分岐点を呼ぶが，分岐点では，まだ埋まっていない任意のマスを選び，さらにそのマスに入る可能性のある数字（複数ある）を１つ選び，一意に値が決まる残りのマスを埋めていく．同様の操作を有限回繰り返せば，必ずすべてのマスが一意に埋まり解に到達する．
井上アルゴリズムでは，分岐点で空きマスの選択とそのマスを埋める数字に任意性があるため，解に到達する多数のルートがあるが，MDSL(=the Minimum Depth of Solution Leaves)とは，解に到達する最短の手順数のことである．筆者は1000を超える数独パズルを用いた数値実験で，すべてのパズルでMDSLは3以下であることを確認した．つまり，多くとも２回の分岐点で最適なマスと数字を選択すれば必ず解に到達できるのである．この実験から，筆者は，「すべての数独パズルでMDSLは3以下であろう」というMDSL予想を提唱している．MDSL予想の数学的証明は現時点では手がついておらず，困難が予想されるが，糸口をみつけて研究を進めていきたい．
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