| Project/Area Number |
22K03280
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
石渡 聡 山形大学, 理学部, 准教授 (70375393)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | 多様体の離散近似 / 非対称拡散過程 / 半群の収束 / 非対称ブラウン運動 / 非対称ランダムウォーク / 熱核 / 推移確率 / 関数不等式 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では次の２つの研究を平行して行う。
研究１：非対称生成作用素に関する幾何解析学の研究
リーマン多様体上のラプラシアンの場合に詳しく研究されてきた熱核の挙動やスペクトル評価など幾何解析学の研究を、ラプラシアンにドリフト項がついたような非対称生成作用素の場合に拡張する。
研究２：グラフ上の非対称ランダムウォークの研究
従来は対称なランダムウォークの場合にしか得られていなかった長時間漸近挙動の研究を、非対称ランダムウォークに拡張する。また、これらをリーマン多様体のネットの上で考え、ネットの収束のもとでの極限について研究を行う。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は完備リーマン多様体上の非対称拡散過程の離散近似について慶應義塾大学の河備浩司教授と共同で研究を行い，ドリフトとポテンシャルの適切な仮定の下では多様体の分割から定まる近接グラフ上のフローとキリングつきのランダムウォーク（一般には非対称）に関する離散半群が，分割を細かくしていくと多様体上のドリフト，ポテンシャル付きの連続半群に収束させることができることを証明した．この結果は Mathematische Annalen に投稿し，受理された．
もう一つの実績として，非コンパクトリーマン多様体の有限個の連結和で定義される多様体において，関数の分散とディリクレエネルギーの比で定義されるポアンカレ定数について 研究を行った．ポアンカレ定数はラプラシアンの第一固有値の逆数と考えられるのでボールの半径ｒに対してｒの２乗で評価される場合は熱核のガウス型評価やHarnack不等式と同値であることが知られている重要な量である．本研究ではドイツビーレフェルト大学の Alexander Grifor'ayn 教授，アメリカコーネル大学の Laurent Saloff-Coste 教授と共同で研究を行い，適切な仮定の下，ポアンカレ定数を完全に決定することに成功した．特に，ポアンカレ定数は体積増大度が２番目に大きいエンドが決定するという新事実を明らかにすることができた．この結果は Proceedings of London Mathematical Society に投稿し，受理された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の第一目標である多様体上の非対称拡散過程の離散近似について，半群の収束という弱い収束ではあるが証明し，論文を出版することができたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は非対称拡散過程の離散近似について，より強い収束や収束のスピードについて詳しく調べる．この研究は引き続き河備教授，加えて京都産業大学の難波隆弥准教授とともに共同で研究を行う予定である，また磁場つきラプラシアンの場合について離散近似を研究する．この研究は河備教授に加えドイツケムニッツ工科大学の Batu Guneysu 教授らとともに研究を行う予定である．更に，これまでの研究で培った知見をもとにして多粒子系についての離散近似の研究も行う予定である．この研究は河備教授に加えて九州大学の角田謙吉准教授と共同で研究を行う予定である．
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