Homotopy theory related to toric varieties and its related geomety
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22K03283
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | The University of Electro-Communications |
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Principal Investigator |
山口 耕平 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 名誉教授 (00175655)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
Guest Martin 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (10295470)
大野 真裕 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (70277820)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000)
Fiscal Year 2024: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | ホモトピー型 / 正則写像 / 多項式 / nef ベクトル束 / Chern 類 / トポロジー / 射影空間 / 終結式 / homotopy theory / toric variety / holomorphic map / algebraic map / resultant |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では、位相空間Mが、2次元多様体（複素1次元多様体（リーマン面））で、像空間Xがトーリック多様体の場合の写像空間 Map(M,X)を、主に取り扱うことにする。このような場合には、より小さな有限次元部分空間（Xが複素構造を持つ場合には、MからXへの正則写像のなす空間や、あるいは、Xが実代数的多様体の場合には、写像が多項式で表示される代数的写像のなす空間など）でホモトピー型を近似できる。この有限次元分空間でホモトピー型がどの程度の次元まで近似できるかを調べる研究（Atiyah-Jones-Segal予想の問題）を行う。
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）体 Fに対して, non-resultantのなす次数dのF-係数多項式のm組で共通根の重複度がn未満のなす空間Poly(d;m,n)(F)が, B. FarbとJ. Wolfsonのよって定義された。この空間のホモトピー型の決定を研究代表者は、A. Kozlowski教授（ワルシャワ大学）との共同研究で、Fが複素数体Cのときに決定した。さらに、この空間の類似物として、resultant（終結式）の条件を実数にゆるめて定義される空間Q(d;m,n)(F)のホモトピー型の決定問題を行い、その結果をJ. Math. Soc. Japan (2022)に発表した。とくに、この空間に対しても、Atiyah-Jones-Segal予想（ホモトピー安定性）が成立することも証明した。
（２）上記（１）で考えたnon-resultantのなす空間のホモトピー型の研究を、体Fが実数体Rの場合を研究した。とくに、mn>3の場合にはそのホモトピー型の解析し、その論文を投稿した。さらにその安定ホモトピー型の決定（stable splitting)も、mn>2の場合に成功した。さらに、mn>3の場合には、（１）の場合と同様にAtiyah-Jones-Segal予想（ホモトピー安定性）が成立することが証明できた。mn=3の場合には、mn>3の場合より結果は弱いが、ホモロジー安定性の証明を与える事ができた。
（３）昨年度に引き続き、３次元の複素２次超曲面上の第１チャーン類が２のネフなベクトル束の分類に取り組んだ。特に，ボトルネックである、ある有限次元代数上の単純右加群に対応する(導来圏の)対象を求める問題にも取り組んだ。さらに、偏極多様体のネフ値に関連した最近の研究とその手法についての知見を深めるとともに、位相幾何の知見に対しても研究した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
（１）本年度中に、２本の論文が出版された。また、それ以外に２本の論文(preprint)が作成できた。
（２）さらに代数幾何学方面の研究でも順調に研究が進んでいて、論文も１本出版された。
以上の理由により、おおむね研究は順調に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）体(field)Fに対して, non-resultantのなす最高次数dのF-係数多項式のm組で共通根の重複度がn未満のなす空間Poly(d;m,n)(F)が、Fが実数体の場合に、mn>3の場合には概ね完成している。しかし、mn=3の場合には、まだホモロジー群の計算程度しか進展していない。本年度は、mn=3の場合（(m,n)=(3,1), (1,3)の場合）に、そのホモトピー型を具体的に記述することを第１の研究課題とする。
（２）前年度は、夏以降コロナ患者数が増加したため、研究集会の参加や研究連絡が十分行えなかった。今年度は研究発表の機会を積極的に持つ予定である。
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Report
(1 results)
Research Products
(8 results)
