| Project/Area Number |
22K03284
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
岸本 大祐 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60402765)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | 代数トポロジー / トーリックトポロジー / ポリヘドラルプロダクト / 組み合わせ論 / ホモトピー論 / 座標空間配置 / polyhedral product / モーメント・アングル複体 / Davis-Januszkiewicz空間 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究は、ポリヘドラルプロダクトのトポロジーとそれを定める単体複体の組み合わせ構造の関係をファットウェッジフィルトレーションと呼ばれるポリヘドラルプロダクトの部分空間列を用いて明らかにする。また、ポリヘドラルプロダクトを用いて懸垂空間のループ空間のモデルを構成し、上記の研究をループ空間のトポロジーや組み合わせ構造へと応用する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
ポリヘドラルプロダクトは空間対と抽象単体複体から構成される空間であり、トーリックトポロジーにおけるDavis-Januszkiewicz空間やモーメントアングル複体を一般化したものである。ポリヘドラルプロダクトのトポロジーはそれを構成する抽象単体複体の組み合わせ構造と密接な関係がある。例えば、Stanley-Reisner環やそのコホモロジーを含む道来代数はポリヘドラルプロダクトのコホモロジーとして実現される。ポリヘドラルプロダクトのホモトピー型と抽象単体複体の組み合わせ構造に関する研究はこれまで盛んに行われており、特に入江幸右衛門氏との共同研究で構築したファットウェッジフィルトレーションは抽象単体複体のGolod性をポリヘドラルプロダクトを用いて研究する際に非常に強力であることが証明されている。
本研究では特に多様体の三角形分割のGolod性をポリヘドラルプロダクトのファットウェッジフィルトレーションを用いて研究してきた。特に、３次元多様体の三角形分割のGolod性（Stanley-Reisner環を用いて定義される代数的な性質）とタイト性という微分幾何にルーツをもつ極小三角形分割と密接に関係する性質が同値であることをポリヘドラルプロダクトを用いて証明した。この発見はポリヘドラルプロダクトを用いて初めてなされるものであり、これまでの組み合わせ論や代数トポロジーの結果と一線を隠すものである。その後、この結果を高次元の多様体の三角形分割に対して証明するという流れで研究を行ってきた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
入江幸右衛門氏との共同研究で３次元多様体の三角形分割のGolod性（Stanley-Reisner環を用いて定義される代数的な性質）とタイト性という微分幾何にルーツをもつ極小三角形分割と密接に関係する性質が同値であることをポリヘドラルプロダクトのファットウェッジフィルトレーションを用いて証明した。これを３次元以上の多様体の三角形分割に対して証明することに成功した。ただし、アイディアはポリヘドラルプロダクトにあるが、実際の証明は純粋に代数的に行った。この証明は次の二つを含んでおり、多様体の三角形分割のGolod性＝タイト性の様子を深く理解しただけではなく、一般のホモロジー代数でも用いることができる道具を開発した。
（１）Poincare双対性とGolod性の関係
Golodな多様体の三角形分割がタイトであることを証明する際に、チェイン複体レベルの考察を行い、Golod性とタイト性を結びつけるのがPoincare双対性であることを発見した。これは予期しなかったことであり、その幾何学的な意味はまだ不明である。
（２）高次プリズム作用素
一般のタイトな抽象単体複体がGolodであることを証明するとき、Stanley-Reisner環のKoszul複体をホモトピー型を変えずに小さくしたチェイン複体を用いた。これは特殊なポリヘドラルプロダクトであるモーメントアングル複体のセル分割から得られるものである。証明すべきことは抽象単体複体がタイトならこのチェイン複体のホモロジーの高次なものを含む全てのMassey積が自明であるということである。そのためにプリズム作用素を高次化した。その方法は格子道の数え上げと分類という純粋に組み合わせ的なものであり、一般のホモロジー代でも使えるものとなっている。
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| Strategy for Future Research Activity |
多様体の三角形分割のタイト性とGolod性が同値であることは証明されたが、その証明は代数的なものであり、ポリヘドラルプロダクトとの関係が不明である。そこで、この結果とポリヘドラルプロダクトとの関係を明らかにすることで研究の深化を計る。また、擬トーリック多様体のループ空間のホモトピー可換性に関する研究ではモーメントアングル複体のループ空間が重要な役割を果たしたが、この結果の高次版や局所化版をモーメントアングル複体をさらに深く調べることで実現する。ポリヘドラルプロダクトは抽象単体複体から一般の有限ポセットへと拡張されている。この拡張を用いて次の二つの研究を行う。
（１）James構成
James構成は古典的なホモトピー論において最も重要な対象のひとつであり、高次Hopf不変量など様々なホモトピー不変量と関係する。complex of injective wordsというポセットに対してポリヘドラルプロダクトを考えると対称群の自然な作用が得られ、その商が（有限で止めた）James構成であることが証明された。これを通して古典的ホモトピー論の構成をポリヘドラルプロダクトを用いて再構築し、その根底にある対称群の存在の意味を明らかにする。
（２）マトロイド
近年、様々な組み合わせ構造の特性多項式の圏化が考えられている。マトロイドの特性多項式の圏化に関する研究は始まったばかりだが、今後の数学において重要な役割を果たすと考えられる。そこで、ポリヘドラルプロダクトやどこから得られたアイディアを用いてマトロイドに関するこの研究を新たに開始する。
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