| Project/Area Number |
22K03291
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
北別府 悠 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (50728350)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | Gromov-Hausdorff 収束 / Mosco 収束 / 曲率次元条件 / ハイパーグラフ |
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| Outline of Research at the Start |
複雑な空間をグラフなどの単純な構造をもつ空間で近似することは, 元の複雑な構造を理解するために非常に有効な方法である. 距離の情報を保つように離散空間で近似することは比較的容易にできる. しかし, それだけでは元の対象の情報をそれほど読み取ることはできない. そこで本研究では測度(=面積や体積)や Dirichlet 形式と呼ばれる, エネルギーの情報も含んだ形で近似することを目標にしている.
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はハイパーグラフ上の Ricci 曲率をより深く理解するためにグラフ上の相対エントロピーの凸性を用いて曲率を定義する Erbar-Maas, Mielke の仕事を学んだ. この手法では, 有限点集合上の Markov chain を用いて曲率を定義するが, 点同士の距離構造も反映することでグラフの性質をより捉えられるのではないかと試行錯誤している. ただその場合確率測度の間の距離は通常の Wasserstein 距離とは異なる. ある種のポテンシャル関数に対しては, 点の数を増やしていくことで例えばコンパクトな多様体を適切に近似できることが知られているが, 一般にはよくわかっていない. 有限次元性を反映させるためにはポテンシャル関数の取り方を上記の論文とは異なる方法で定める必要があるのではないかと考えている. したがってその距離が近似している空間の距離に近づいていくかどうかも今後考えなければいけない.
またその上で無限小ヒルベルト的条件及び有限次元性からくるエントロピーの勾配流の性質を研究した. その副産物として, RCD 空間上の Shannon 不等式について研究をまとめ, 後日 arXiv に投稿予定である. 具体的には非崩壊 RCD(0,N) 空間上の「良い」確率測度に対して Shannon 不等式が成り立ち, その定数項はユークリッド空間と等しいことを示した. 手法としては, 先に述べたようにエントロピーの勾配流の特徴づけと熱核のGromov-Hausdorff 収束に沿った振る舞いを利用した. その応用として, 不等式の剛性定理, 概剛性定理及び, Heisenberg-Pauli-Weyl の不確定性原理の成立も示した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は様々な曲率概念を比較することに費やしており, それをハイパーグラフなどに適用して結果を得るところまでは到達していない. しかしながら得られた知見は今後必ず役にたつと確信しているので, 概ね順調に進展しているとした.
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度得られた結果をもとに, まずは非負曲率の概念を様々な観点から定式化していく. 特に有限次元性を反映した定義を模索していく.
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