Project/Area Number |
22K03292
|
Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
|
Allocation Type | Multi-year Fund |
Section | 一般 |
Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
|
Research Institution | Osaka Metropolitan University |
Principal Investigator |
枡田 幹也 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00143371)
|
Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2025-03-31
|
Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
|
Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
|
Keywords | トーリックトポロジー / 旗多様体 / Hessenberg variety / 対称群の表現 / Stanley-Stembridge予想 / トーラス軌道 / 凸多面体 / 置換 |
Outline of Research at the Start |
トーリック多様体論をトポロジーの立場から展開することから生まれたトーリックトポロジーという分野の開拓を進める。これまで、トーリック多様体(もっと一般にトーラス多様体)のトポロジーと、それに関連する組合せ論の研究を主に行ってきた。トーリックトポロジーは、トーラス群作用を用いて様々な分野との関係を見出すのが特徴である。この特徴を推し進め、トーリックトポロジーを一層豊かな数学にするのが本研究の目的である。具体的には、同変シューベルトカリキュラスの線上にあって色々な数学と関係している ヘッセンバーグ多様体の研究を深める。また、旗多様体におけるトーラス軌道の閉包のトポロジーと組合せ論の関連を探る。
|
Outline of Annual Research Achievements |
旗多様体の部分多様体の族である正則半単純ヘッセンバーグ多様体のコホモロジーについて調べた.具体的には以下の通り.
[1] Brosnan-Chowの定理(Shareshian-Wachs予想の解決)により,正則半単純ヘッセンバーグ多様体のコホモロジーの対称群表現は,Stanleyによって導入されたグラフ彩色の対称関数と本質的に同じである.佐藤敬志氏との共同研究において,正則半単純ヘッセンバーグ多様体のtwinと呼ばれる多様体のコホモロジーの対称群表現が,表現論の観点から導入されたunicelluar LLT多項式と本質的に同じものであることを示した.
[2] 上記のBrosnan-Chowの定理の証明は代数幾何の深い事実を用いるが,ある意味隣り合った正則半単純ヘッセンバーグ多様体の間に,modular lawと呼ばれる関係を示せば,初等的な議論でBrosnan-Chowの定理が示せることをAbrew-Nigroが示した.これは上記のtwinに関しても成立する.最近 Kiem-Leeがmodularlawを幾何的な議論を用いて示した.彼らの議論は初等的ではあるが,ヘッセンバーグ多様体の場合とそのtwinの場合では議論が異なっている.佐藤敬志氏および堀口達也氏との共同研究において,modularlawをGKMグラフを用いて証明した.我々の議論は組合せ的なもので初等的である.また,ヘッセンバーグの場合とtwinの場合の議論は並行して成り立つという利点がある.
|
Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で述べた2つの結果は,当初予想していなかったもので,このような結果が得られたことに驚いている.また議論は非常に自然なので,本質に迫っているのではないかとの感触を持っている.
|
Strategy for Future Research Activity |
この研究の究極の目的は,グラフ理論におけるStanley-Stembridge予想を肯定的に解決することである.現在2つの方法がある.1つは組合せ論によるもの.もう1つは上記で述べた Brosnan-Chowの定理を介して,正則単単純ヘッセンバーグ多様体のコホモロジーの対称群表現を調べることである.これまで後者の方法を用いて来たが,前者の方法の理解を深めて2つの方法の違いや関係を深く掘り下げたいと思っている.これにより新しい知見が得られることと期待している.
もう1つは,現在進めている正則半単純ヘッセンバーグ多様体の自己同型群を調べることである.ごく最近,面白い進展があったので,深く探りたいと思っている.
|