周期と Coxeter 変換から見た Frobenius 構造

Research Project

Project/Area Number	22K03295
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 11020:Geometry-related
Research Institution	Bunkyo University
Principal Investigator	佐竹郁夫文教大学, 教育学部, 教授 (80243161)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2026-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000) Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Keywords	コクセター変換 / 楕円ルート系 / フロベニウス多様体 / Coxeter 変換 / 周期
Outline of Research at the Start	鏡映群による商空間は、長い研究の歴史を持つ。近年の弦理論に起源をもつアイデアの１つとして、この商空間はある三角圏の安定性条件の空間と呼ばれる空間から得られる、という見方がある。この見方からは、商空間のもつ構造（Frobenius 構造）も、三角圏の安定性条件の空間から得られる概念を用いた自然な構成が望ましい。これについて、特別な場合（有限 Coxeter 群商、楕円 Weyl 群商）に、周期と Coxeter 変換を用いた Frobenius 構造を構成したが、これは上記の意味で望ましい構成の候補となりうると考えている。この構成の一般化及び構成の幾何学的意味付けを研究している。
Outline of Annual Research Achievements	有限コクセター群の場合に、コクセター変換を用いて good invariant を定義したが、これについて具体例を計算し、修正中の論文に加えることができた。楕円ルート系から得られる楕円ワイル群不変式について、admissible triplet と呼ばれるデータ（本質的にコクセター変換のデータ）を固定することで、Good invariant を定義した。これは楕円ワイル群についての商空間に入るフロベニウス構造を再定義するものであった。これについていくつか明確になった。１つは、Good invariant について、余次元 1 の場合には、Good invariant は一意的であったが、余次元が 1 でない例として、$A^{(1,1)}_1$ 型の場合に詳しく計算し、この場合には Good invariant が admissible triplet の取り方に依存し、一意的でないことを具体的に示すことができた。もう１つは、admissible triplet の存在証明について、以前は admissible triplet を実際に構成することで存在を示していたため、どこが非自明かが明確でなかったが、admissible triplet の条件を分解することで、一般的に成り立つことと非自明な部分を分離することができ、明確な議論となった。ここには、楕円ワイル群が作用する空間について、「canonical decomposition」を見出したことが用いられる。この分解は、複素解析的な分解ではないが canonical な直積分解であり、複素構造を用いずに定義できる楕円 Artin 群や double affine Hecke algebra へのモジュラー群作用についての研究に効果的に用いられると期待される。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason これまでの研究を整理することで見出した、canonical decomposition が、Coxeter 変換や Good invariant の研究に有用なだけでなく、楕円アルティン群の研究や、double affine Hecke 環の研究に資することを見出すことができた。
Strategy for Future Research Activity	これまでの定式化では、Good invariant を Coxeter 変換を１つ固定して議論してきたが、モジュラー群作用についても込みにして議論することが望ましい。これについて以前構築した$O(2,n)$ を用いた定式化を合わせることで研究を進めていきたい。