ディリクレ基本領域が導く閉双曲多様体の多面体分割の構成と特徴付け

Research Project

Project/Area Number	22K03309
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 11020:Geometry-related
Research Institution	University of Hyogo
Principal Investigator	牛島顕兵庫県立大学, 国際商経学部, 教授 (50323803)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	中西敏浩島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (00172354)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000) Fiscal Year 2024: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2022: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Keywords	Cayley-Klein幾何学 / 双曲幾何学
Outline of Research at the Start	多様体という幾何学的対象を幾つかの部品に切り分けて研究をするのは一般的であり、多様体の性質などに応じて様々な切り分け方（分割）が知られている。双曲多様体には「標準的分割」と呼ばれる方法が知られているが、この分割は「閉」双曲多様体には確立されていない。そこで、閉双曲多様体し対し標準的分割と呼べる分割を導入する、という将来的目標のために、具体例と一般論を調べるのがこの研究の目的である。その様な分割はディリクレ基本領域と呼ばれる多面体分割と関係すると予想しており、補助事業期間に取り組むのは、三角群に関係する双曲多様体のディリクレ基本領域の調査と、ディリクレ基本領域の分布状況の一般的性質の調査である。
Outline of Annual Research Achievements	双曲平面とは、定曲率-1のリーマン多様体であり、ユークリッド平面での平行線公準が成り立たない世界として構築されている。その結果として、ユークリッド平面での定理のうち平行線に関係するものが、双曲平面では成り立たなかったり、形を変えて成り立ったりする。本研究の最終目標は、双曲平面に作用する離散群が定める曲面のディリクレ領域を決定することである。その第一歩として、離散群が三角群の場合を詳しく調べようとしている。特に、三角群がコンパクトな場合には、ユークリッド平面上の三角形に対するチェバの定理に対応する、双曲平面上の三角形に対するチェバの定理を用いて、ディリクレ領域を決定することができることが既に知られている。そこで、既知の結果をコンパクトとは限らない三角群に一般化するには、理想頂点や超理想頂点が混在する三角形に対して、双曲平面上のチェバの定理を一般化することが必要となる。なお、理想頂点や超理想頂点は、ユークリッド平面上の三角形には存在せず、双曲平面上の三角形に特有の現象である。今年度の研究では、Cayley-Klein幾何学として双曲平面の取り扱いを利用して、そのような三角形に対するチェバの定理の一般化の証明を行うことができた。当初の予想通り、Cayley-Klein幾何学を用いることで統一的な証明を得ることができた。その成果を幾つかの研究集会で発表し専門家と議論を交わし、研究期間の最終年度に発表することを目指している。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 前年度の研究を継続し、双曲平面における三角形の、チェバの定理やメネラウスの定理を、理想頂点や超理想頂点が混在する三角形に対し一般化した定理の主張を確定させ、証明を得ることができた。いくつかの研究集会で講演をし、この内容について専門家と議論をし、この時点では証明の不備は見当たらず、また今後につながる重要な示唆も得られたことから、研究は概ね順調に進展していると判断した。
Strategy for Future Research Activity	まず、【現在までの進捗状況】欄で記載した研究成果を投稿し出版することが当初の目標である。それとともに、理想頂点や超理想頂点が混在する三角形が生成する三角群から定まる双曲曲面のディリクレ領域を決定し、その内容を研究発表することを目指す。