| Project/Area Number |
22K03313
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Nara Women's University |
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Principal Investigator |
小林 毅 奈良女子大学, その他部局等, 名誉教授 (00186751)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
村井 紘子 奈良女子大学, 自然科学系, 准教授 (40456843)
張 娟姫 奈良女子大学, 自然科学系, 准教授 (90708348)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | Heegaard分解 / 橋分解 / 折り紙 / 位相的データ解析 / 応用トポロジー / 三次元多様体 / 結び目・絡み目 |
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| Outline of Research at the Start |
本申請では次の2つの観点から低次元トポロジーに関係した研究を行う.
観点1.「大域的構造のなす空間」という視点から「三次元多様体」， 「結び目・絡み目の橋分解」， 「平面曲線の同値類」, 「幾何構造を利用した折り紙の構成」, 「絡み目の橋分解の同値性」, 「Heegaard分解の距離」に関係した研究を推し進めこれらの分野の発展をはかる.
観点2.低次元トポロジーの研究に機械学習の観点を取り入れるとともに, 観点1.の研究を 通して得られた新しい知見等を用いて位相的データ解析等に新しい研究のフレームワークの 提案， それに沿った研究を推し進める事により応用トポロジーの発展に寄与する.
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は二つの観点を持っている.
観点１では, 小林, 張は, 3次元多様体内の絡み目の（strongly）keen bridge 分解が豊富に存在することを井戸絢子氏との共同研究で証明し, この結果を報告する論文が専門誌に掲載された.また小林, 張は3次元球面内の結び目・絡み目の橋分解の同値性に関しては, 高尾和人氏, 小沢誠氏との共同研究で所謂橋分解と呼ばれる概念には二つの解釈が存在することを注意しそれらを, bridge splitting と bridge decomposition と呼称しその違いを明らかにする研究を実施したが, 現在その結果を公開するために論文を作成中である. 村井は折り紙の数学的研究を実施し, ユークリッド平面内の領域Pからユークリッド空間への等長写像（folded state）と，Pからfolded stateへの連続変形（folding motion）を研究対象とし, Pが円環に同相な閉集合の場合に, Pからf(P)へのfolding motionが存在するための条件を求めるための第1ステップとして,ある種の円環領域が,”良い条件”を保ったまま"任意に細い”円環領域に折れることを示した. この研究では紙同士の重なり順を表すλという写像及びその変化が重要な役割を果たすが, 村井はλの新たな解釈を与えるために, その変化の様子を表す幾何学的対象（graphic）を提案した．更にこれをを用いて，裏返された花紋折りの展開図が平坦折り可能であることを示した．観点2について, 小林はGabrielsson-Carlssonの, 順伝播型ニューラルネットワークの畳み込み層のフィルターに関する位相幾何学的手法を拡張する研究を行い、この内容について奈良女子大学大学院生平川瑞季を指導し修士論文としてまとめさせた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
この研究で得られた3次元多様体内の絡み目の（strongly）keen bridge 分解が豊富に存在するという結果を報告する論文が専門誌に掲載された.更に小林-張はここで得られた結果やアイデアを応用し, weakly keenではあるがkeenではないHeegaard splittingおよびbridge splittingに関する考察を始めている. また3次元球面内の結び目・絡み目の橋分解の同値性に関しては, bridge splitting と bridge decomposition の違いを明らかにする研究を実施しその結果を公開するために論文を作成中である. 村井は折り紙の数学的研究を実施し, ユークリッド平面内の領域Pからユークリッド空間への等長写像（folded state）と，Pからfolded stateへの連続変形（folding motion）を研究し, Pが円環に同相な閉集合の場合に, Pからf(P)へのfolding motionが存在するための条件を求める、という研究を行っており, 第1ステップとして, 部分的な結果が得られたので, この方向で研究を進める予定である. 視点2について, 小林はGabrielsson-Carlssonの, 順伝播型ニューラルネットワークの畳み込み層のフィルターに関する位相幾何学的手法を拡張する研究を引き続き行う予定である. 以上より本研究はおおむね順調に進展していると判断した.
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| Strategy for Future Research Activity |
小林と張はkeen Heegaard splittingに加え, keen bridge splittingに関する研究を通して, 曲線複体内のHempel距離を実現する測地線に対する理解が深まった. 前年度までにkeen Heegaard splittingおよびkeen bridge splittingの存在について得られた結果やアイデアを応用し, weakly keenではあるがkeenではないHeegaard splittingおよびbridge splittingに関する考察を行った. その結果, そのような分解がみたすべき条件がいくつか得られたので, この方向で更に研究を進めていく予定である. また現在行っているbridge splitting と bridge decompositionという２種類の橋分解に関する研究に関して, 考察すべき課題がいくつか存在するので, 引き続きこれに取り組む予定である. 村井はfolding motionに伴うλの変化の様子を表す幾何学的対象の性質を明らかにすることを目指して考察を行う予定である. また, 前年度に立てた, folded stateがfolding motionを許容するための条件に関する予想について, その解決に向けた第二ステップである, アンビエントイソトピーをfolding motionで実現する方法について検討を行う予定である. 小林はGabrielsson-Carlssonの, 順伝播型ニューラルネットワークの畳み込み層のフィルターに関する位相幾何学的手法を拡張する研究を引き続き行う予定である.
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