| Project/Area Number |
22K03325
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
佐野 友二 福岡大学, 理学部, 教授 (00399792)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000)
Fiscal Year 2026: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2025: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 判別式 / 終結式 / トーリック多様体 / 標準ケーラー計量 / チャウ形式 / フルヴィッツ形式 / 安定性 / 超判別式 |
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| Outline of Research at the Start |
空間（多様体）の分類問題は幾何学のみならず物理などの幅広い観点から重要な問題の一つである．分類を行なった場合，空間の見本となる標準的なモデルが現れるが，そのようなモデルは曲率に関する標準的な条件を満たすような計量（標準計量）を持つことが期待される．この研究では空間の標準計量と安定性と呼ばれる性質が同値であるという予想をもとに，空間が持っている代数的な情報（チャウ形式・超判別式など）の性質を特徴付けることで，「標準計量とは何か」という問題に対して答えを見つけていくことを目的とする．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，射影代数多様体に付随する多項式（チャウ形式，判別式）に対する（特殊）線形群の作用を調べることで，射影代数多様体上の標準ケーラー計量と安定性の関係を理解することを目標としている．これまでに射影代数多様体上の Bergman 計量の空間に制限した K エネルギー汎関数の固有性（Paul 氏の安定性）を判定する上で必要となる超判別式多面体の具体的な計算方法について結果を得ていた．今年度は，上記の方法を用いて，具体的な計算例を増やし，チャウ形式の重み多面体であるチャウ多面体と超判別式多面体（Hurwitz 多面体）を比べ，その相違を調べることを目標としていた．
以上を踏まえて，今年度の研究成果を述べる．前年度までに投稿していた 2 本の論文のうち，1 本の論文 A（ケーラー幾何学の結果を用いた，一般のトーリック多様体の Hurwitz 多面体を求める方法）が専門誌に掲載された．これにより，定義通りに超判別式多面体を求めるのではなく，少ない計算量で求められる Hurwitz 多面体を計算することで超判別式多面体を求めることができるようになった．この方法で，2次元トーリックファノ多様体の Hurwitz 多面体を計算し，超判別式多面体（Hurwitz 多面体）とチャウ多面体が同じ次元，同じ数の頂点を持つことを確認した．
投稿していた もう 1 本の論文 B（超判別式多面体と Hurwitz 多面体をケーラー幾何学を経由せず GKZ 理論を用いて直接比較する）については，論文投稿時は足りなかった視点が指摘されており，より内容を深めつつ再投稿の準備中である．再投稿の準備中に，フリップと呼ばれる単体分割の変形による massive GKZ ベクトルの変化の微分幾何的な解釈の着想を得て，定式化を試みた．まだ形になっていないが，今後も継続して取り組む課題を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
具体的な例の計算は，現在の環境においてできるところまでは行った．しかし，具体例からチャウ多面体と超判別式多面体に関する一般的な性質について考察を行った． 今後はこれらの性質が一般的に成り立つか否かを調べていく．また，フリップによる単体分割の変形によって massive GKZ ベクトルの変化の微分幾何的解釈の着想・課題を得ることができたので，研究の方向は適切であると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
以下の具体的な二つの課題を考えつつ，より問題の捉え方を広げていく．
一つ目の課題は，超判別式多面体とチャウ多面体の比較である．２次元においては共通する性質を確認できている．これが高次元でも成り立つのかを確かめる．これにより，Paul 氏の安定性の判定法に貢献できる結果が期待される．二つ目は，運動量多面体の単体分割のフリップの微分幾何的な解釈の定式化である．これにより，チャウ安定性を特徴づけるケーラー計量（balanced 計量）を単体分割（またはそれに準じた概念）で特徴づけることを試みる．
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