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Gabor解析における諸問題の解決

Research Project

Project/Area Number 22K03328
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 12010:Basic analysis-related
Research InstitutionHokkaido University

Principal Investigator

小林 政晴  北海道大学, 理学研究院, 准教授 (30516480)

Project Period (FY) 2022-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥2,340,000 (Direct Cost: ¥1,800,000、Indirect Cost: ¥540,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Keywords関数空間 / スペクトル合成集合 / フーリエ・ルベーグ空間 / Gabor解析 / モジュレーション空間 / 作用関数 / 関数空間論
Outline of Research at the Start

「Gabor解析」とは、ホログラフィーの研究でノーベル物理学賞を受賞したD. Gabor氏が1946年に発表した論文の中で用いた「Gauss 関数の平行移動と変調により生成される関数系を用いて、Fourier 級数展開のようにR上の関数を展開する」というアイデアから発展した研究分野である。本研究では、Gabor解析における重要な研究テーマであり、これまで互いに影響を及ぼしあいながら発展してきた「Modulation空間」と「Gabor系の線形独立性問題」を研究する。

Outline of Annual Research Achievements

本年度は「ユークリッド空間 R^n における単位球面 S^{n-1} (すなわち、原点からの距離が1となる R^n 上の点 x の全体)がフーリエルベーグ空間 FL^q_s(R^n) において、スペクトル合成集合になるための必要十分条件は何か?」について研究を行った。ここでフーリエ・ルベーグ空間 FL^q_s(R^n) とは、フーリエ変換が重み付きルベーグ空間 L^q_s(R^n) に属するような関数全体であり、調和解析及び偏微分方程式の研究において重要な役割を果たす関数空間の一つとして知られている。スペクトル合成の研究は「ある関数fが集合E上でf(x)=0であること」と「ある関数fが集合Eの近傍でf(x)=0であること」の違いを明らかにするために始まったものであり、古くから研究が行われている。特にフィールズ賞を受賞したローラン・シュヴァルツが n ≧ 3 の場合は単位球面 S^{n-1} はフーリエ代数 A(R^n) (フーリエ・ルベーグ空間 FL^q_s(R^n) において q=1、s=0 の場合に対応する関数空間)においてスペクトル合成集合にならないことを証明し、多くの研究を驚かせた。スペクトル合成の研究は偏微分方程式の解の一意性問題にも応用されており、多くの研究者によって現在も研究が行われている。本研究では、古典調和解析の方法やGabor解析の研究において蓄積した知識や方法を用いて、単位球面 S^{n-1} がフーリエ・ルベーグ空間 FL^q_s(R^n) において、スペクトル合成集合になる(またはスペクトル合成集合にならない)ための n、q および s に関する条件を明らかにした(佐藤圓治名誉教授(山形大学)と共同研究)。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

スペクトル合成の研究はとても面白い問題であると同時に、かなり難しいテクニックを要するので、今回フーリエ・ルベーグ空間における単位球面がスペクトル合成集合になるための条件が見つけられたことに満足している。また、得られた成果は論文にまとめて、現在投稿中である。

Strategy for Future Research Activity

今回得られた成果は「フーリエ変換のL^2理論」や「特殊関数(ベッセル関数など)の基本性質」を用いたため、「q に関する制限」や「考える集合の形」に制限がついているが、更に研究を発展させ、「S^{n-1}がスペクトル合成になるための条件」の完全版や「S^{n-1} 以外の集合がスペクトル合成集合になるための条件」の解決に役に立つことが期待できる。2024年度はこの課題に取り組む。この他に2024年度はモジュレーション空間におけるスペクトル合成集合の研究についても研究を行う。

Report

(2 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • Research Products

    (11 results)

All 2024 2023 2022 Other

All Int'l Joint Research (3 results) Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (7 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 6 results)

  • [Int'l Joint Research] ウィーン大学(オーストリア)

    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Int'l Joint Research] ジョージア工科大学/タフツ大学(米国)

    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Int'l Joint Research] トリノ大学(イタリア)

    • Related Report
      2023 Research-status Report
  • [Journal Article] A note on operating functions of modulation spaces2022

    • Author(s)
      Kobayashi Masaharu、Sato Enji
    • Journal Title

      Journal of Pseudo-Differential Operators and Applications

      Volume: 13 Issue: 4

    • DOI

      10.1007/s11868-022-00494-3

    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] On the spectral synthesis for the unit circle in ${\mathcal F} L_s^q ({\mathbf R}^2)$2024

    • Author(s)
      Masaharu Kobayashi
    • Organizer
      Winter Workshop: Fourier Analysis and its applications (Renyi Institute)
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] On the spectral synthesis for the unit circle in ${\mathcal F} L_s^q ({\mathbf R}^2)$2024

    • Author(s)
      Masaharu Kobayashi
    • Organizer
      Research Seminar Function Spaces (フリードリヒ・シラー大学イェーナ)
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Operating Functions on A^q_s(T)2023

    • Author(s)
      Masaharu Kobayashi
    • Organizer
      Harmonic Analysis Seminar (ウィーン大学)
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] On the spectral synthesis for the unit circle in ${\mathcal F} L_s^q ({\mathbf R}^2)$2023

    • Author(s)
      Masaharu Kobayashi
    • Organizer
      Analysis Seminar (ジョージア工科大学)
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] On the spectral synthesis for the unit circle in ${\mathcal F} L_s^q ({\mathbf R}^2)$2023

    • Author(s)
      Masaharu Kobayashi
    • Organizer
      Analysis Seminar (タフツ大学)
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] On the spectral synthesis for the unit circle in ${\mathcal F} L_s^q ({\mathbf R}^2)$2023

    • Author(s)
      Masaharu Kobayashi
    • Organizer
      Seminari di Analisi Matematica dell'Universita e del Politecnico di Torino (トリノ大学)
    • Related Report
      2023 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Operating functions on A^q_s (T)2023

    • Author(s)
      小林政晴
    • Organizer
      偏微分方程式の解の特異性とその周辺
    • Related Report
      2022 Research-status Report
    • Invited

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Published: 2022-04-19   Modified: 2024-12-25  

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