数論的手法により構成されるフラクタル図形の幾何学的性質について

Research Project

Project/Area Number	22K03329
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 12010:Basic analysis-related
Research Institution	Hirosaki University
Principal Investigator	江居宏美弘前大学, 理工学研究科, 准教授 (60333051)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000) Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000) Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Keywords	フラクタル / 複素連分数展開 / substitution / ベータ展開 / タイル張り
Outline of Research at the Start	既存の研究により、ベータ展開や複素連分数展開を用いた数論的手法により、境界がフラクタルである図形を構成できることが分かっている。本研究は、次の2点を主軸とする。一つ目は、あるクラスの3次Pisot数を基数とするベータ展開によるフラクタル図形を、文字の置換規則（substitution）を用いたArnoux-伊藤の手法を拡張して構成する。２つ目は、ガウス数体上の複素連分数展開より決まるフラクタル図形について、その境界を具体的に記述する方法を開発する。これらの結果を融合し、構成されたフラクタルの境界を解析し、フラクタル次元や連結性といった幾何学的性質を解析する。
Outline of Annual Research Achievements	本研究では、ベータ展開や複素連分数展開といった数論的手法により決まるフラクタル図形の境界を具体的に記述する方法を開発し、境界を解析することによりフラクタル次元や連結性といった幾何学的性質を調べることを研究目的としている。本目的を達成するために、当該年度に取り組んだ研究における主な実績は以下の通りである。【Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開によるフラクタル図形の境界の解析】前年度までに、Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開により得られた３つのフラクタル図形の境界の substitution ルール（集合方程式）の候補を挙げ、その substitution ルールを用いて境界を描画するコンピュータ実験により、実際のフラクタル図形の境界に近い曲線を得た。しかしながら、これは境界と完全に一致しておらず、さらなる改良が必要であった。当該年度は、３つのフラクタル図形をプロトタイルとするタイル張りの隣接し合うタイルどうしに着目し、新たな substitution ルールを決定し、コンピュータ実験を行ったところ、実際のフラクタル図形の境界と一致したものが得られた。また、モンタン大学（オーストリア　レオベン）にて，J. Thuswaldner 氏、B. Loridant 氏との研究討論により，フラクタル図形によるタイル張りとフラクタル図形の境界について知見を得られたことは、今後の研究において有意義であったと考える。研究協力者（仲田均氏（慶応大）、夏井利恵氏（日本女子大））と進めている複素連分数展開に関する基礎研究において、Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開についての結果を発展させ、Lakain による複素連分数展開についての研究成果をまとめた論文が国際学術雑誌に採録された。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason Hurwitz の nearest integer 型連分数展開によるフラクタル図形については、当該年度に計画していたとおり、その境界を構成するための substitution ルールを決定することができた。一方で、Pisot 数を基数とするベータ展開によるフラクタル図形とタイル張りの構成について、３次 Pisot ユニットに関する４つの場合について、substitution を決定し、Arnoux-伊藤の手法を拡張してフラクタル図形とタイル張りを構成することを挙げていたが、一つの場合について未だ subsittution の決定に至っていないため、本区分とした。
Strategy for Future Research Activity	【Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開によるフラクタル図形の境界の解析について】当該年度に Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開によるフラクタル図形の境界を与える substitution ルールを決定することができた。今後は、実際にそのsubstitution ルールが境界を与えるかどうか検証を行い、その後 substitution ルールを利用して境界の幾何学的な性質、特にハウスドルフ次元について解析する。【Pisot 数を基数とするベータ展開によるフラクタル図形とタイル張りの構成について】３次 Pisot ユニットに関する４つの場合のうち、まだ未解決の場合について substitution を決定し、Arnoux-伊藤の手法を拡張してフラクタル図形とタイル張りを構成する。国内外の研究集会にて研究成果の発信、情報交換、また関連分野の研究者との研究討論を積極的に行い、本研究を進展させる。