| Project/Area Number |
22K03329
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
|
| Allocation Type | Multi-year Fund |
|---|
| Section | 一般 |
|---|
| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
|
|---|
| Research Institution | Hirosaki University |
|---|
Principal Investigator |
江居 宏美 弘前大学, 理工学研究科, 准教授 (60333051)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
|
| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
|
| Budget Amount *help |
¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000)
Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
|
|---|
| Keywords | フラクタル / 複素連分数展開 / substitution / ベータ展開 / タイル張り |
|---|
| Outline of Research at the Start |
既存の研究により、ベータ展開や複素連分数展開を用いた数論的手法により、境界がフラクタルである図形を構成できることが分かっている。本研究は、 次の2点を主軸とする。一つ目は、あるクラスの3次Pisot数を基数とするベータ展開によるフラクタル図形を、文字の置換規則（substitution）を用いたArnoux-伊藤の手法を拡張して構成する。２つ目は、ガウス数体上の複素連分数展開より決まるフラクタル図形について、その境界を具体的に記述する方法を開発する。これらの結果を融合し、構成されたフラクタルの境界を解析し、フラクタル次元や連結性といった幾何学的性質を解析する。
|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、ベータ展開や複素連分数展開といった数論的手法により決まるフラクタル図形の境界を具体的に記述する方法を開発し、境界を解析することによりフラクタル次元や連結性といった幾何学的性質を調べることを研究目的としている。本目的を達成するために、当該年度に取り組んだ研究における主な実績は以下の通りである。
【Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開によるフラクタル図形の境界の解析】
前年度までに、Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開により得られた３つのフラクタル図形をプロトタイルとするタイル張りの隣接し合うタイルどうしに着目し、フラクタル図形の境界を決める substitution ルール (graph-directed IFS) を考案した。また、コンピュータ実験を行ったところ、実際のフラクタル図形の境界と一致したものが得られた。しかしながら、substitutionルールは複雑で、かつ substitution ルールの決定方法が他のタイプの複素連分数展開に適応できるものではなかった。該当年度は、この問題点を解決するために、新たな substitution ルールを考案した。これにより、フラクタル図形の境界が簡単に記述でき、その構造がより解析しやすくなった。また、Lakain が定義した他のタイプの複素連分数展開にも同じ手法を適用して substitution ルールを決定できることを確認した。
研究協力者（仲田均氏（慶応大）、夏井利恵氏（日本女子大））と進めている複素連分数展開に関する基礎研究において、Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開についての結果を発展させ、KST型の複素連分数展開に関する研究成果をまとめた論文が受理された。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開からきまるフラクタル図形の境界について、当該年度の当初の計画では、前年度に得られた境界を決める substitution ルールを用いて、フラクタル図形の幾何学的性質を解析する予定であった。しかし、前年度に決定した substitution ルールの問題点を解決する必要があったため、進捗状況に遅れが生じた。一方で、より簡単で、他のタイプの複素連分数展開に応用できる substitution ルールの決定方法の発見に至ったことは、今後の研究につながると考えている。
Pisot 数を基数とするベータ展開によるフラクタル図形とタイル張りの構成については、前年度より進展がなかった。以上より、本区分とした。
|
| Strategy for Future Research Activity |
【Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開によるフラクタル図形の境界の解析について】
今後は、Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開によるフラクタル図形の境界を与える substitution ルールを利用して、境界の幾何学的な性質、特にハウスドルフ次元について解析する。さらに、Lakain が定義した他の場合についても同様の解析を行う。
【Pisot 数を基数とするベータ展開によるフラクタル図形とタイル張りの構成について】
３次 Pisot ユニットに関する４つの場合のうち、まだ未解決の場合について substitution を決定し、Arnoux-伊藤の手法を拡張してフラクタル図形とタイル張りを構成する。
国内外の研究集会にて研究成果の発信、情報交換、また関連分野の研究者との研究討論を積極的に行い、本研究を進展させる。
|
