| Project/Area Number |
22K03332
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
Toshikazu Abe 茨城大学, 応用理工学野, 講師 (40749157)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
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| Keywords | 平均 / 中点 / ジャイロ群 / 半群 / 距離 / 対称移動 / 平行移動 / 行列 / 距離空間 / 作用素 |
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| Outline of Research at the Start |
数学的に興味がある対象は，複数の構造を持ち，それらが互いに関連しあっていることが少なくない．極端な場合，特定のひとつの構造がわかれば，他の構造についてすべてわかってしまうことすらある．例えば，実ノルム空間の場合，同じ線形空間に対して異なるノルム（距離構造）が入ることはあるが，逆に距離空間として同型ならば自動的に実線形空間として同型にならざるを得ない．つまりノルム空間においては，距離構造が代数構造についての情報をすべて持っているということである．同様の結果はノルム空間以外でも見られる．本研究の目的は，距離空間や平均といった構造の裏に隠れている（相性のいい）代数構造を見つけることである．
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| Outline of Final Research Achievements |
A gyrogroup is an algebraic structure defined as a generalization of a group by replacing the associative law in the group axioms with a weaker condition.Objects of interest in mathematics (or in various applied fields) often possess multiple structures simultaneously, and these structures are frequently interrelated.In this study, we investigated objects equipped with means (or distances) that are particularly compatible with gyro-groups (or semigroups).This study particularly focused on matrix means.Matrix means are known to be representable via their corresponding matrix monotone functions.One of the main results of this study is the derivation of necessary conditions, based on properties of monotone functions, for a matrix mean to be characterized as the algebraic midpoint in a gyrocommutative gyrogroup.
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| Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements |
行列平均の典型的な例として算術平均・調和平均・幾何平均・対数平均などがあげられる．算術・調和平均は半群の代数的中点として，幾何平均はジャイロ群の代数的中点として記述できることが知られている．これにより，算術・調和・幾何平均についてはそれぞれ対応した代数構造を用いて調べることができる．一方で，一般には各平均について対応する代数構造が見つかっていない．各平均に対応する代数構造を見つけることができれば，その平均を調べるうえでの大きな道具を得ることができ，平均についての研究に役立つ．本研究結果ではそのための一歩として平均がジャイロ群に対応するための簡単な必要条件が得られた．
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