割引因子を持つ確率制御問題に対する最適軌道の相転移と割引因子消滅極限

Research Project

Project/Area Number	22K03343
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 12010:Basic analysis-related
Research Institution	Aoyama Gakuin University
Principal Investigator	市原直幸青山学院大学, 理工学部, 教授 (70452563)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥2,210,000 (Direct Cost: ¥1,700,000、Indirect Cost: ¥510,000) Fiscal Year 2024: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Keywords	確率的変分問題 / 粘性ハミルトン・ヤコビ方程式 / 確率制御 / 割引因子
Outline of Research at the Start	割引因子を持つ無限時間区間型の確率制御問題について考察し、最適軌道の再帰性・非再帰性に関する「相転移」が起こるための条件を割引因子やその他の定数パラメータに関する条件として定量的に特徴付ける。また、割引因子を限りなくゼロに近づけたときの確率制御問題の最適値に関する漸近挙動を調べ、極限関数についての確率制御論的な解釈を与える。
Outline of Annual Research Achievements	本年度は、優線形なラグランジアンと有界かつ内向きのドリフト項を持つ確率的変分問題の最適軌道が、空間遠方で多項式減衰するポテンシャル項の摂動に対してどのように振る舞うのかについて考察した。特に、最適軌道の長時間挙動が大きく変化する臨界点における様子を詳しく調べた。確率的変分問題に付随するエルゴード型粘性ハミルトン・ヤコビ方程式の一般化主固有値を摂動パラメータに関する関数とみなすとき、適当な付加条件の下でこの関数は狭義単調増加な部分と平坦な部分に分かれる。摂動パラメータの値が狭義単調増加な部分にあれば確率的変分問題の最適軌道は正再帰的であり、平坦な部分にあれば過渡的であることがこれまでの研究により示されている。一方で、狭義単調増加な部分と平坦な部分の境界点（臨界点）における最適軌道の長時間挙動は完全には解明されていない。本年度の研究では摂動パラメータが臨界点にある場合について主に考察した。具体的には、最適軌道の再帰性を判定するために用いられるリヤプノフの方法を精密化することにより、臨界点直上においても判定可能な方法論を構築した。その結果、ある条件の下では最適軌道が零再帰性と呼ばれる弱い再帰性を持ち得ることがわかった。臨界点以外での最適軌道の長時間挙動は正再帰的であるか過渡的であるかのいずれかであることが既にわかっているので、臨界点では他の点では起こらない現象が起こり得ることが確認できた。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 新型コロナウイルスの世界的な流行により、当初予定していた国際共同研究に遅れが生じたため。
Strategy for Future Research Activity	これまでに得られた結果ではエルゴード型粘性ハミルトン・ヤコビ方程式のハミルトニアンとドリフト項にやや強い条件を課していたため、これらを緩めることができるかどうか検討する。