モノドロミー保存変形のタウ関数と無限次元代数の表現論

• Project/Area Number: 22K03350
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Kanazawa University
• Principal Investigator: 名古屋 創 金沢大学, 数物科学系, 教授 (80447367)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2027-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2022)
• Budget Amount: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000); Fiscal Year 2026: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000); Fiscal Year 2025: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000); Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2022: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
• Keywords: Virasoro algebra / パンルヴェ方程式 / モノドロミー保存変形 / Virasoro 代数

Outline of Research at the Start

2012 年に Gamayun, Iorgov, Lisovyy は第6パンルヴェ方程式のタウ関数が共形場理論の共形ブロックのフーリエ変換で表示されることを発見した.
本研究では, Virasoro 代数や W 代数等の無限次元代数の表現論を深化させることで, モノドロミー保存変形のタウ関数が共形ブロックのフーリエ変換で表示されることを証明する.

Outline of Annual Research Achievements

以前までに、super Virasoro 代数である Neveu-Schwartz-Ramond (NSR)代数のランクが同一である不確定 Verma 加群間の不確定特異点型頂点作用素の存在、一意性および、NSR 代数の不確定 Verma 加群と自由フェルミオン代数のフォック空間の直和が、２つの Virasoro 代数の不確定 Verma 加群の無限個の直和に分解することを示していた。これらの事実から、NSR 代数の不確定特異点型頂点作用素が２つの Virasoro 代数の不確定特異点型頂点作用素の無限和に分解されることが示唆されており、２０２２年度はこの事実の証明に挑戦し、任意のランクについて証明が完成した。

この結果から、Virasoro 代数の不確定共形ブロックが双線形微分方程式をみたすことが導かれる。特に中心電荷が1となるとき、パンルヴェ方程式のタウ関数がみたす双線形微分方程式となることが期待されるので、我々の結果は不確定共形ブロックのフーリエ展開がパンルヴェ方程式のタウ関数となるという予想（第４，５パンルヴェ方程式の場合）の証明に向けて大きな一歩となる。

得られた不確定共形ブロックがみたす双線形微分方程式から、逆に不確定共形ブロックが決定されることもランク１，２の場合に確かめた。すなわち、特定の場合ではあるが、微分方程式による（表現論を介さない）不確定共形ブロックの定義が得られたことになる。確定共形ブロックに対してもそのような双線形微分方程式が知られていたが、不確定共形ブロックに対する双線形微分方程式はそれとは種類が異なることがわかり興味深いと思われる。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

長年の課題であったNSR代数の不確定頂点作用素の分解定理の証明が完成したため。

Strategy for Future Research Activity

1. ランクが半整数の場合にNSR代数の不確定頂点作用素の定義、その存在と一意性の証明に取り組む。

2. パンルヴェ方程式の退化操作を参加にして、共形ブロックがみたす双線形微分方程式の退化操作を完成させる。得られた双線形微分方程式を利用して、不確定共形ブロックの定義を与える。