Project/Area Number |
22K03357
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Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Section | 一般 |
Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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Research Institution | Saga University |
Principal Investigator |
半田 賢司 佐賀大学, 理工学部, 教授 (10238214)
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Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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Keywords | Poisson-Dirichlet分布 / 点過程 / 相関関数 / 確率母汎関数 / 可逆分布 / 凝結 / 分裂 / 定常分布 |
Outline of Research at the Start |
凝結や分裂の現象は,自然界に見られる現象における根本的な動的要素である.それらは互いに双対とも言うべきものであり,また時間反転とも言える.このような現象に対する主だった2つの数学解析の枠組みとして,関数方程式(系)モデルと,ランダムな動的要素を持つモデル化があるが,本研究ではそれらの間に密接な繋がりを見出すことで新たな研究の展開を目指す.言ってみれば,汎関数解析と確率解析を融合したアプローチである. 特に重要なテーマは,凝結や分裂の現象を記述するモデルで双対性・可逆性・エルゴード性が成立する場合,何がそれぞれの責任を負っているかを汎関数解析と確率解析の両方の言葉で同定し,理解を深めることである.
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Outline of Annual Research Achievements |
研究の端緒として,凝結・分裂現象を記述するマルコフ過程モデルの中で平衡状態が同定されている一つのモデルの数学的構造を深く調べた.このモデルは,Bertoin [Combinatorics, Probability and Computing, 2008] により発見されたものであり,その平衡状態(可逆分布)は2パラメータPoisson-Dirichlet分布として知られている.Bertoinによる可逆性の証明は,各自然数nごとに,離散版モデルと言えるnの整数分割の空間上のマルコフ過程についていわゆる詳細釣合条件が成り立つことを明示的に確認することでなされた. 我々は,そのような離散版や有限次元射影を介しないという意味において,より直接的にその可逆性を示すことができないか議論を重ねた.その結果,2パラメータPoisson-Dirichlet点過程の汎関数解析を通じた方法が利用可能であることが判明した.2パラメータPoisson-Dirichlet点過程とは,2パラメータPoisson-Dirichlet分布に従う無限次元単体のランダムな要素を正の実軸上の点過程として記述したものであり,その相関関数や確率母汎関数による特徴づけは研究代表者により2009年に得られていた.ここではさらに,点過程としてのPalm分布公式を確立することで進展がなされた.加えて,上述のBertoinの可逆モデルで分裂作用素を規定するのに用いられる2パラメータPoisson-Dirichlet分布の無限測度への拡張版について,拡張された確率母汎関数による特徴づけも得られ,それも援用しての結果となっている.
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
論文草稿がまだ完成していない.これは,学術的見地から同時に盛り込んでおいた方が良いと思われる補助的または関連する結果が多岐にわたっているためである.
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Strategy for Future Research Activity |
Bertoinの可逆モデルにおいては,2パラメータPoisson-Dirichlet分布のパラメータ(α,θ)でαが正の場合に限定されたもののみが可逆分布となる.実はそれよりも前に,α=0の場合のみに限定したPoisson-Dirichlet分布を可逆分布として持つ凝結・分裂過程がMayer-Wolf, Zeitouni, Zerner [Electron. J. Probab., 2002] によって議論されていた.そこで,これら2つのモデルの関連性を無限次元汎関数解析の視点で考察することは大変興味深い.その試みは,我々の方法の有効性を試す良い機会ともなり得ると考えている.
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