| Project/Area Number |
22K03361
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
横山 聡 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任研究員 (70643774)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2026: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2025: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2023: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2022: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
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| Keywords | 確率解析 / 確率偏微分方程式 / 確率論 |
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| Outline of Research at the Start |
本申請課題では水と氷、水と油など性質の異なる物質が共存する系に現れる界面の移動を記述している界面方程式に、予期せぬ要因で起こる揺らぎを確率的な要素であるランダムな効果（ノイズ）として数学的に捉え、ノイズの影響が考慮された界面方程式を確率論の一分野である確率偏微分方程式の枠組みで定式化しその解の解析を行う。実際に観測される現象では、ノイズは観測時刻、観測地点、観測方法などにより影響範囲が多岐に渡ると考えられるが、できる限り自然と思われる仮定をノイズに与え、対応する確率界面方程式をモデル化して界面の数学的解析を目指すものである。
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| Outline of Annual Research Achievements |
水と氷など性質が異なる２つの物質に現れる境界面の時間発展に関し確率偏微分方程式を道具に調べている。確率項が含まれない決定的な系では多くの研究結果が存在しており手法を参考にしているが、確率項であるノイズは時間に関する正則性が良くなく、それが起因して議論を進める中で多くの壁に直面し工夫が必要である。我々は反応拡散方程式であるアレンカーン方程式を基礎として考える。反応項から平均を差し引いた体積保存型とし、外力項としては輸送項が乗じられた確率項を考えたモデルを採用する。これらに微小パラメーターを付加された体積保存型確率アレンカーン方程式とその特異極限で得られる方程式について研究を引き続き実施している。低温状態に相当する正の数の微小パラメーターを係数に持つ双安定の反応項によって駆動される２階放物型偏微分方程式には、輸送項にホワイトノイズである乗法的ノイズが付加されている。微小パラメーターを０に近づけることにより確率偏微分方程式の解は反応項の安定点に集中し、その結果２つの安定点を分離する相である超曲面が現れることがわかる。極限移行操作による確率項付き平均曲率方程式への収束については漸近展開と確率解析の手法を用いて議論を進めている。ノイズの正則性の悪さから確率分布の意味で収束する滑らかな近似列でノイズを置き換えた近似方程式を考え議論を行っている。技術的な調整、工夫をすべきところがあり、限定的な仮定の下で証明を遂行している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
輸送型ノイズで駆動される体積保存型確率アレンカーン方程式に関しては、ノイズの正則性の悪さから起こる技術的な調整、工夫をすべきところがある。現時点は限定的な仮定の下で証明を進めている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はCahn Hilliard方程式に確率的要素が含まれた系に対しても範囲を広げ遂行していく。
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