相を分けるランダムな界面の解析

Research Project

Project/Area Number	22K03361
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 12010:Basic analysis-related
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	横山聡東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任研究員 (70643774)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2027-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000) Fiscal Year 2026: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000) Fiscal Year 2025: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000) Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000) Fiscal Year 2023: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000) Fiscal Year 2022: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Keywords	確率解析 / 確率偏微分方程式 / 確率論
Outline of Research at the Start	本申請課題では水と氷、水と油など性質の異なる物質が共存する系に現れる界面の移動を記述している界面方程式に、予期せぬ要因で起こる揺らぎを確率的な要素であるランダムな効果（ノイズ）として数学的に捉え、ノイズの影響が考慮された界面方程式を確率論の一分野である確率偏微分方程式の枠組みで定式化しその解の解析を行う。実際に観測される現象では、ノイズは観測時刻、観測地点、観測方法などにより影響範囲が多岐に渡ると考えられるが、できる限り自然と思われる仮定をノイズに与え、対応する確率界面方程式をモデル化して界面の数学的解析を目指すものである。
Outline of Annual Research Achievements	水と氷など性質が異なる２つの物質の中に現れる境界面の時間発展に対して、微小パラメーターを付加した確率偏微分方程式を道具に調査を続けている。本年度は双安定な反応項を持ち、輸送型の確率項が加わった体積を保存するような確率偏微分方程式である確率アレンカーン方程式を考察し、パラメーターを0に近づけた場合に現れる鋭敏界面極限(sharp interface limit)について詳細な議論を進めた。輸送項を構成するベクトル場に対しては、境界面の時間発展を記述する確率偏微分方程式の解の存在、一意性を議論する上での技術的な困難さから強い仮定を課さねばならない。可能な限り緩やかな仮定をベクトル場に課し、適切な初期条件の下で確率解析と漸近展開理論を駆使し対応する鋭敏界面極限の結果を得た。この研究結果は Franco Flandoli教授との共同研究によるものであり、雑誌 Results in mathematics に掲載が決定した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 輸送型の確率項を持つ体積保存型の確率アレンカーン方程式について結果を得ており、おおむね順調と考える。
Strategy for Future Research Activity	輸送型ノイズに課された条件の一般化、確率項を持つ Cahn-Hilliard 方程式の場合への議論の拡張を検討したい。