| Project/Area Number |
22K03362
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | Ryukoku University |
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Principal Investigator |
久保 利久 龍谷大学, 経済学部, 准教授 (90647637)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000)
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| Keywords | 絡微分作用素 / 微分対称性破れ作用素 / K-type分解 / F-method / K-type構造 / 特殊多項式 / 三重対角行列式 |
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| Outline of Research at the Start |
群Gの作用と可換な微分作用素Dを「絡微分作用素」と言う．この可換性から絡微分作用素Dの大域解全体の成す空間Sol(D)は自然とGの表現空間となる．例えば，群Gが不定値直交群O(p,q)の場合，無限次元表現の中で最も退化した表現である「極小表現」が（超双極型）ラプラシアンの解空間上に実現されることが知られている．一般にSol(D)上には極小表現のような特異な表現が現れると期待されるものの，まだまだ解明されていない点が多い．本研究では超幾何微分方程式やホインの微分方程式などを通し，特殊多項式の観点から解空間Sol(D)上に現れる表現の理解を目指す．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究計画は，An型ハイゼンベルグ超双極型微分作用素□の解空間（kernel）Sol(□)のK-type構造を明らかにすることを目的としている．昨年度はminimal K-typeの構成を理解するため，(SL(3,R), P_{max}; line bundle)における絡微分作用素Dの分類構成問題およびその解空間Sol(D)のK-type構造の決定問題に着手し，これを解決した．本年度はこの結果を一般化する形で以下の3つの成果を挙げることに成功した．
１：(SL(n,R), P_{1,n-1}; line bundle)における絡微分作用素Dの分類構成問題の解決およびその解空間Sol(D)のK-type構造の決定
２：(SL(3,R), P_{1,2}; vector bundle)における絡微分作用素Dの分類構成問題の解決
３：(SL(n+1,R), P_{1,n}; SL(n,R), P_{1,n}; line bundle)における微分対称性破れ作用素Dの分類構成問題の解決
「1」では，主結果を通して，van Dijk-MolchanovならびにHowe-Leeの結果を絡微分作用素の観点から理解することができた．また主結果の副産物として，対応する一般化Verma加群の可約点の分類および一般化Verma加群間の準同型の「standardness」についての分類も得られた．現在，本研究結果をまとめた論文を投稿中である．また，「3」では，「1」の結果を援用することによって，一般化Verma加群の分規則の観点から微分対称性破れ作用素のfactorial identityを理解することができた．加えて，「1」の結果を通して微分対称性破れ作用素Dの像のK-type構造も決定できたものと考えている．なお，「2」については【今後の研究の推進方策】で触れる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画書執筆時と研究の進み方自体は異なっているものの，絡微分作用素および対称性破れ作用素の理解を深められたこと，そしてK-type構造についても多角的な視点を持つことが出来たことから，概ね順調に進展していると判断した．
【研究実績の概要】では，主な研究業績の一つとして『(SL(n,R), P_{1,n-1}; line bundle)における解空間Sol(D)のK-type構造の決定』を挙げた．この研究を通して，放物型部分群P=LNのLevi部分群Lの不変性および微分作用素の階数がどちらも高い場合は，「解空間におけるPeter-Weyl型定理」からK-type構造を直接計算するのは困難であることが分かった．Peter-Weyl型定理についてはまだまだ分からないことが多い．今回，その理解を深められたことは大きな成果であったと考えている．
また昨年度は，「Smith代数」を通してSol(□)の構造を理解できないかと考えていたが，計算を進めるうちに，全く違うアプローチから計算を進めた方が良いのではないかと考えるようになった．特にH代数ではなく，sl(2)の構造を強く意識した方向から計算を進められないか検討していきたい．
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| Strategy for Future Research Activity |
【研究実績の概要】および【現在までの進捗状況】を踏まえ，今後は以下の2点に重点的に取り組みたいと考えている．
１：『(SL(n,R), P_{1,n-1}; vector bundle)における絡微分作用素Dの分類構成問題』
２：『Sol(□)におけるsl(2)の計算』
「１」については，「n=3」の場合が本年度の主な研究業績として挙げた「2」に相当する．この研究では，特にCartan componentおよびPRV componentのみが絡微分作用素の構成に寄与することが判明した．この現象が「n=一般」の場合にどのように一般化されるのか考えていきたい．
「２」については，【現在までの進捗状況】で述べた通り，H代数の構造ではなく，sl(2)の構造に着目し，計算を行なっていく．
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