New developments of hypergeometric functions and hypergeometric groups

Research Project

Project/Area Number	22K03365
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
Research Institution	Hokkaido University
Principal Investigator	岩崎克則北海道大学, 理学研究院, 教授 (00176538)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000) Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2022: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Keywords	超幾何群 / 超幾何格子 / K3曲面 / K3格子 / 正則自己同型 / エントロピー / ジーゲル円板 / ピカール数 / 超幾何関数 / K3 曲面 / リジッド系 / 漸近解析
Outline of Research at the Start	超幾何関数は、超幾何方程式の解として定義され、数学や数理物理のさまざまな分野に現れる重要な関数である。その大域挙動はモノドロミー群によって測られる。超幾何方程式のモノドロミー群をモデルとする代数的・群論的な概念が超幾何群である。本研究では、超幾何群の代数的・幾何学的研究を展開するとともに、複素幾何学、複素力学系等への応用を与える。さて、大域モノドロミーが局所モノドロミーによって決まる微分方程式をリジッド系という。そこで、超幾何群の理論をリジッド系に一般化することも本研究の一つである。また、より解析的な方向性として、超幾何級数の漸近解析を行い、特殊値公式に応用するなど、多角的に研究を進める。
Outline of Annual Research Achievements	本研究では、超幾何関数とそこから派生する概念である超幾何群を研究対象とする。超幾何関数は、複素領域における微分方程式である超幾何方程式の解として定義され、その大域挙動や多価性はモノドロミー群によって測られる。モノドロミー群をモデルとして得られる群論的な概念が超幾何群である。本研究の目的の一つは、超幾何群とそれに付随する整格子（超幾何格子）の性質を研究し、それをK3 曲面上の力学系の研究に応用することである。これは、先の科研費研究課題で着想を得て研究を開始し、本研究課題で継続的に展開している研究テーマである。超幾何群の方法では、超幾何格子がK3格子となる場合を分類し、その場合に超幾何群の生成元を改変することによって、非射影的K3曲面と、その上の正エントロピーをもつ正則自己同型を多数構成することができる。この方法では、さまざまの操作が大規模ではあるが初等的な行列計算に還元できるので、K3力学系の性質を計算機に乗せて具体的に計算できるという利点がある。本年度は、旧研究課題から引き続き、特徴的な不変集合であるジーゲル円板をもつK3曲面自己同型の研究を行った。このような正則自己同型を許容するK3曲面のピカール数は、ある種の制限を受ける。本研究では、超幾何群の方法を用いて、可能なすべてのピカール数について、ジーゲル円板をもつK3曲面自己同型の存在を示すことができた。その過程で、ジーゲル円板の中心を探すために正則不動点公式を利用する必要があった。そのために、不動点公式に付随するグロタンディーク留数の計算方法を開発した。これらの成果をまとめたオリジナル論文が、本年度に受理出版された。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本年度の進捗としては、研究協力者　高田佑太（北海道大学）との共著論文 Katsunori Iwasaki, Yuta Takada, "K3 surfaces, Picard numbers and Siegel disks", Journal of Pure and Applied Algebra, Vol. 227 (2023), no. 3, Article 107215, 31 pages がアクセプトおよび出版されたことが挙げられる。この論文では、先ず、ジーゲル円板を持つような正則自己同型を許容する K3 曲面のピカール数が 0 から 18 の偶数であることを示した。逆に、そのようなすべてのピカール数について、超幾何群の方法を用いて、ジーゲル円板を持つ K3 曲面自己同型を実際に構成することができた。これは、この分野における確かな進展であり、概ね順調に進展しているといえる。
Strategy for Future Research Activity	初年度の主な研究成果は、ジーゲル円板をもつ正則自己同型を許容する K3 曲面のピカール数に関するものであった。その結果は、論文の形では既に専門誌に掲載されたが、口頭発表については、新型コロナウィルスの影響で十分な機会に恵まれなかった。そこで、次年度は、本課題の経費等を活用し、成果発表に努める。すでにいくつかの講演の招待を受けている。さて、ジーゲル円板とは、階数が２の不変な回転領域のことである。すると、当然、階数１の不変回転領域も興味深い研究対象となる。しかし、一般に、階数１の回転領域の方が存在証明や構成が困難である。そこで、次年度は、超幾何群の方法により、階数１の回転領域をもつ K3 曲面自己同型を多数構成することを目標として、今後の研究を推進していく。