| Project/Area Number |
22K03367
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
佐々木 浩宣 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (00568496)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | 逆散乱問題 / シュレーディンガー方程式 / 散乱作用素 / 散乱の逆問題 / クライン・ゴルドン方程式 / 非線型分散型方程式 / 解の漸近挙動 / 関数空間 |
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| Outline of Research at the Start |
非線型分散型方程式（NLDEQ）は非線型波動を記述する偏微分方程式の総称として知られており、諸分野に於ける重要なモデルである。「NLDEQの解が、自由方程式（非線型項が無い方程式）の解とどれだけ差異があるか」を測る指標のひとつが散乱作用素Sである。
本研究では、NLDEQの非線型項の性質・構造が、Sにどのような影響を与えているのか、多角的考察（順問題・逆問題・関数空間論など）によって解明していく。
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和５年度は主に、空間２次元の非線型シュレディンガー方程式における散乱の逆問題について研究した。ここで、「方程式の非線型項N(u)は（uに関して）滑らかであり、幾つかの設定がなされているが、詳細な情報・形状は未知である」と仮定している。
（目標）散乱作用素の情報が既知であるとしたときに、その情報を利用して未知なるNを同定すること。特に、Nの性質（例えば原点におけるウィルティンガー微分係数など）に関する再構成公式を作成すること。
（背景）N(u)がかなり具体的に与えられていて、未知な情報が極僅かである場合は、幾つかの結果が知られている。その場合、「小振幅極限」が有効である。「小振幅極限」はいわば散乱作用素の１次近似に相当するもので、様々な散乱の逆問題に利用されている一方、今回の設定では、未知な情報が非常に多く、「小振幅極限」だけではNの同定には程遠い状況となる。従って、新たな手法を確立する必要がる。
（主結果）今年度は、散乱作用素のｎ次近似に相当する評価式を証明し、それを利用することで、「Nの（原点に於ける）ｎ次（ウィルティンガー）微分係数を一意に再構成する公式」を確立した。なお、この公式は、ｎ次未満の微分係数が未知であっても適用可能となる。
（応用例）「Nが多項式であることが分かっている場合」であれば、当該公式を用いることでNそのものを一意に再構成することが証明される。
これらの結果は学術論文として纏められ、査読付き国際学術雑誌に掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
第２年度としておおむね順調に進展していると言える。
当初の計画においては、【NLS、NLKGと非線型ディラック方程式（NLD）の散乱問題を考察する。更に研究に関連する関数空間の考察も行う。】というテーマを設定した。上部の「研究業績の概要において」記載した結果は、このテーマと大いに関連があり、本来の目的達成に大きく寄与する可能性がある。
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| Strategy for Future Research Activity |
現段階で得られている主結果及びそれを得るに至る手法を応用・修正することで、更に深い諸性質を明らかにしていく。その際に関数解析学（フーリエ解析、バナッハ空間の補間空間論、自己共役作用素のスペクトル理論、リーマン幾何学など）の深い洞察が必要となるので、周辺分野の研究も適時行う。また考察を補助的に支えるシミュレーションについても随時実行する。横断的な研究になるので、それぞれの専門家との議論を活発に行う。
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