| Project/Area Number |
22K03375
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Nara Women's University |
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Principal Investigator |
柳沢 卓 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (30192389)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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| Keywords | Helmholtz-Weyl分解 / MHD方程式 / 調和ベクトル / 定常問題 / 安定性 / Helmholtz分解 / 境界値問題 / weak Dirichlet問題 / 修正熱核 / 調和ベクトル場 / 位相的不変量 / Helmholtz-Weyl分解定理 / Navier-Stokes方程式 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では，2次元および3次元外部領域上で定義されたr-乗可積分なベクトル場に対するHelmholtz-Weyl分解定理を数学的に妥当な形で与え，更に，この分解定理の流体および電磁気学に現れる境界値問題への適用可能性を探ることを目的とする．このことにより，領域の位相構造が流体現象等に現れる境界値問題の解空間構造に与える影響を捉える統一的解析手法の提示を目指す．
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| Outline of Annual Research Achievements |
早稲田大学の小薗英雄氏及び京都大学の清水扇丈氏との共同研究により，3次元ベクトル場のHelmholtz-Weyl分解定理を効果的に用いることによって，磁気流体力学近似方程式（MHD方程式）に現れる時間発展作用素の定義域を明確にした．具体的には，MHD方程式に現れる磁場的ラプラス作用素の定義域を，Helmholtz-Weyl分解定理に現れるベクトルポテンシャルのrotを用いて明示的に与えた．このことにより，MHD方程式に対する初期値境界値問題の作用素論的設定が可能となった．一つの応用として，3次元有界領域上のMHD方程式に対する非自明な定常解の一つであるゼロ速度場と接線的調和ベクトル磁場との直積に対する，大域的安定性に関する結果を示した．この際，磁場に関する摂動方程式の低階項が磁場的ラプラス作用素の定義域に属するという事実が重要なポイントとなる．この結果は，共著論文として現在投稿中である．
MHD方程式に対するHelmholtz-Weyl分解定理の更なる応用可能性を探る為，以下のテーマに関する共同研究を，小薗氏及び清水氏等と進めている．(1)3次元有界領域上の定常的MHD方程式に外力（運動方程式に対する運動力学的外力及び誘導方程式に対する電流）を付加した場合の定常解の存在・一意生・滑らかさに関する考察．既に，分解定理を用いた上記で述べた知見により，外力の属すべき空間の設定，外力がある場合の弱解の妥当な定義等が明らかにすることが出来た．(2)外部データとして，外力の他に境界データをも考慮した非斉次3次元定常的MHD方程式の境界値問題の解析．この際，境界データを物理的に妥当な形で与える必要がある為，問題設定に遡った検討を行っている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
国内研究者とのＭＨＤ方程式に関する共同研究は順調に進んでいるが，海外研究者との共同研究は遅れている．
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| Strategy for Future Research Activity |
MHD方程式の解析に対するHelmholtz-Weyl分解定理の応用に関する国内共同研究を継続して進める．更に，テンソル場に対する分解定理の考察を，海外の研究者との共同研究も再開する中で行う．
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