非局所反応拡散方程式の大域的解構造の解明と楕円関数の応用

Research Project

Project/Area Number	22K03378
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
Research Institution	Meiji University
Principal Investigator	辻川亨明治大学, 研究・知財戦略機構(生田), 研究推進員(客員研究員) (10258288)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000) Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000) Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Keywords	反応拡散方程式 / 楕円積分 / 分岐現象 / 分岐構造 / 定常問題
Outline of Research at the Start	反応拡散方程式の定常問題である積分制約条件つきの楕円型方程式の解の大域的な構造と対応する解の安定性を扱う．解析方法として、分岐理論、特異極限法および楕円積分を用いる．分岐理論のみでは定常解の大域的構造を解明することは困難であることから、楕円積分を用いて解を具体的に表示することにより２次分岐の存在を含めた解構造、および定常解のまわりでの線形化固有値問題における固有値の分布を調べる。
Outline of Annual Research Achievements	金属の融解現象を記述するモデルとして、２変数反応拡散方程式であるPhase-Field方程式がFixやCaginalpにより提唱された。Neuman境界条件の下では、この方程式の定常問題は積分制約条件付きのスカラー方程式となり、解の存在とその安定性を研究している。 Kuto and Tsujikawa (2013)の結果を適応することにより、エンタルピーが零の場合を除いて定常解の分岐構造が得られる。定数解から分岐した枝が定数解に、または特異解に接続するなどを示した。しかしエンタルピーが零の場合、定数解からの１次分岐（対称解の出現）、および対称解からの２次分岐（非対称解の出現）現象が起こることを示すことができない。そこで完全楕円積分により、すべての解がパラメータ表示できることを用いて分岐解の枝がパラメーター空間の中のグラフとなることを示した。また、Suzuki and Tasaki (2009)の結果を補完して、定数解からの分岐の方向をすべて決定した。定常解の安定性に関して、エンタルピーが零の場合の定数解からの１次分岐である対称解について議論した。すなわち、定数解から分岐した直後の対称解は不安定であるが２次分岐点を境に安定となる。Suzuki and Tasaki (2009)の結果から、ある種の線形化固有値問題を扱えば十分であることがわかる。固有値はすべて実となるので、第一固有値のみが正から負になり、その他の固有値はすべて負となることを示した。対称定常解が完全楕円積分で表示できることから、具体的に固有関数の形状がわかることが証明の本質的である。安定性が変化する点と２次分岐が起こる点が一致していることも示した。同様に具体的な解表示により、２次分岐の方向の決定が可能であると考えている。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason Phase-Fieldモデルの定常解の構造を明らかにしてきたが、安定性を含めた解明には至っていない。対称解の安定性を証明できたが、そこから分岐した非対称解の安定性の問題が未解決である。そのための準備として、２次分岐の方向および２次分岐の枝の単調性を示す必要がある。対称解の完全楕円積分による解表示を用いて分岐の方向を決定することは可能であると思われるが、分岐の枝の単調性は難しい問題である。しかし、２次分岐解は拡散係数が零まで拡張できるが、その点の近傍では特異摂動法による解の構成、およびSLEP法による線形化固有値問題の固有値の振る舞いが解析可能であると考えている。これまでのPhase-Fieldモデルの定常解の構造の解明に用いた手法は非局所項を持つAllen-Cahn方程式や細胞極性モデル方程式にも適応可能であると考え、２次分岐の方向などを平行して研究を進めている。２つの対立する遺伝子をもつ生物の個体数変化を記述するモデルの１つがNagylaki(1975)により提唱された．このモデルは、空間依存性のある退化型Logistic増殖項をもつ単独反応拡散方程式である．空間依存の条件を符号が変化する関数として導入し、その積分条件により定常解の存在及び安定性が議論されている．しかし、”完全優位性”の場合は拡散係数が小さい場合を除いて十分な解構造が解明されていない。そこで、パラメータ付きの具体的な関数を導入して、すでに得られた解を定数解からの分岐解として数値計算により捉えたが、厳密に証明するには至っていない。空間的な環境の変化を記述する関数が区分的定数（２か所不連続点を持つ）の場合、Feltrin(2018)などが多重解の存在を示している。しかし、この場合も大域的な分岐構造については未解決である。
Strategy for Future Research Activity	Phase-Fieldモデルの定常解の構造の解明を進めている。対称解からの2次分岐の方向については、Crandall-Rabinowitz流の分岐方程式の解析と完全楕円積分による解表示を用いた２通りの方法で計算を進めている。２次分岐はピッチフォーク形であると予想している。また、パラメーターに依存した分岐曲線の分岐点での曲率についても考察する予定である。分岐方程式の解析が進めば分岐点近傍での非対称解の安定性を決定できる。分岐の枝の伸長により特異摂動解に接続することを示した。また、分岐した枝が単調であることが証明されれば、指数定理を用いて非対称解の安定性が変化しないことを示す。そのためには分岐の枝の単調性とサドルノード分岐との関連を示す必要があり、これも難しい問題である。また、定数解から非対称な解が分岐する場合もあり、同様のアプローチが可能であると考えている。これまでのことが示された場合、非局所Allen-Cahn方程式の対称解からの２次分岐に関する問題も解決できることが予想される。一方、細胞極性モデル方程式については定常解の存在領域が非対称であり、２つの方程式の場合とは状況が異なり、２次分岐が横断的であると予想している。 Nagylaki(1975)により提唱された空間依存性のある退化型Logistic増殖項をもつ単独反応拡散方程式について、まず空間依存を表す関数が一度だけ符号を変える場合を扱う。定数解から非定数解の分岐が起こることを示すために、拡散係数をパラメータとしたときに安定性が変わる点、すなわち定数解の周りでの線形化固有値問題が零固有値を持つことを証明する。つぎにパラメーターに関する解の有界性を示し、分岐した枝は拡散係数が零まで延長され、その上２次分岐が起こらず他の分岐点にも入らないことを示す。