ｐラプラシアンの固有値問題と関連する楕円積分の研究
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22K03392
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
竹内 慎吾 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (00333021)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | ｐラプラシアン / 一般化三角関数 / 一般化ヤコビ楕円関数 / ウォリス型積分公式 / 倍角公式 / 一般化双曲線関数 / 加法公式 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究は，代表的な非線形2階微分作用素であるpラプラシアンについて，固有値問題とそれに関連する楕円積分の研究を行う．pラプラシアンの固有値と固有関数を利用した古典的な諸概念の「現代化」を通して，非線形微分方程式の従来の研究手法では得られない知見を獲得することを目的とする．従来の非線形微分方程式の研究では，一般には古典解析的な側面を探ることはほとんどなされておらず，これまでにない特徴ある研究成果が得られる．
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| Outline of Annual Research Achievements |
2022年度の本研究課題の研究成果は次の二つである（ともに大学院生との共同研究）：①3パラメータの一般化ヤコビ楕円関数の性質、②一般化三角関数の曲線による特徴付け。
①について述べる。まず、3つのパラメータをもつ一般化ヤコビ楕円関数がなす関数系が基底となる条件を与えた。これはフーリエ級数展開を想定した研究であり、一般化三角関数や2パラメータの一般化ヤコビ楕円関数に関する先行研究（Bushell-Edmunds (2012)、Takeuchi (2014)）を含む成果を得た。さらに一般化ヤコビ楕円関数に関するウォリス型積分公式を開発した。三角関数および一般化三角関数に関するこの種の公式は明快でよく知られているが（Bushell-Edmunds (2012)、Kobayashi-Takeuchi (2019)）、ヤコビ楕円関数に関する公式（Byrd-Friedman (1971)）は漸化式で与えられておりそれほど明快なものではなくあまり知られていないと思われる。これを含む3パラメータのヤコビ楕円関数に対する公式をもう少し見通しの良い形で与えることができた。
②について述べる。三角関数やレムニスケート関数については、二倍角公式を曲線の長さを用いて特徴付けることができることは古くから知られている。これに倣い、極方程式を用いて一般化三角関数および一般化円周率の曲線による特徴づけを行い、さらに一般化三角関数の倍角公式（Takeuchi (2016)）に対して図形的な解釈を与えた。一般化三角関数に関するこのような図形的な考察は先行研究がないと思われる。
現在、3パラメータの一般化完全楕円積分（一般化ヤコビ楕円関数の1/4周期）に関するルジャンドル型関係式について見通しの良い証明を考えており、それが完成したら①の内容と合わせて論文にまとめる予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
言い訳になるが、学内業務に思いのほか時間を取られ、また研究室の学生数も例年より極端に多く指導に時間を取られたため、研究時間を十分に取れなかったことが主な原因だと考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在、3パラメータの一般化完全楕円積分（一般化ヤコビ楕円関数の1/4周期）に関するルジャンドル型関係式について見通しの良い証明を考えており、それが完成したら①の内容と合わせて論文にまとめる予定である。また、一般化三角関数はｐラプラシアンの固有関数である。これまで一般化三角関数の性質を主に研究してきたが、そろそろｐラプラシアンを含む微分方程式への応用を考えたいと思う。
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Report
(1 results)
Research Products
(6 results)
