Costruction of solutions to Schrödinger equations via wave packet transform and its application
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22K03394
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
加藤 圭一 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (50224499)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2026: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | シュレーディンガー方程式 / 波束変換 / シュレーディンガー方程式の解の構成 / シュレーディンガー方程式の数値計算 / ハミルトン方程式 / シュレーディンガー方程式の解の構成法 |
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| Outline of Research at the Start |
申請者等は，2011年からの研究により，ハミルトン方程式の解を用いた波束変換によるシュレーディンガー方程式の解の表現を得ている．申請者等が得た解の表現は，初期条件を波束変換した関数とハミルトン方程式の解を組み合わせた主要項および短い時間では小さくなる低階項からなる．本研究では，この解の表現の主要項のみを用いて解を構成し，得られた解の構成法を用いて数値計算を試みる．この数値計算法は時間に依存するポテンシャルの場合に計算効率がよくなると期待される．
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| Outline of Annual Research Achievements |
空間方向に関して滑らかで空間遠方で２次増大のポテンシャルをもつシュレーディンガー方程式は，波束変換により１階の偏微分方程式（正確には１階の偏微分方程式に剰余項が付いたもの）に変換でき，それに特性曲線の方法を用いると増大する項が位相関数にのみでてくる（つまり，増大する項が絶対値が１となるところにしかでてこない）積分方程式が得られることがこれまでの我々の研究でわかっている．この積分方程式は，解が初期値とポテンシャルのみからなる項（以下，第1項と呼ぶ）とポテンシャルの２階微分の項と解の積分からなる項（第2項）の和で書けるというものである．本研究では，この第1項のみを用いて解を構成する．
具体的には，T>0とし，自然数Nに対しシュワルツの急減少関数をNが大きくなると集中するようにスケール変換しておき，その関数で波束変換して得られた第1項を用いて初期時刻からT/Nだけ時間発展する．それをN回繰り返して得られる近似解にたいし，Nを無限大とすると真の解が得られる．
今年度は，この方法で真の解が得られること，真の解に近づく速さはNに関して1次になることを示すことができた．また，研究協力者の牛島健夫氏（東京理科大学創域理工）とこの方法を用いた数値計算について共同研究を行った．数値計算については空間次元が1次元の場合にMatLabを用いて具体的なプログラムを作成し，先行研究と比較しているところである．先行研究に対しどのようなアドバンテージがあるのかはまだ明確になっていない．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初計画では，解の構成については電磁場のポテンシャルを持つ場合に考察する予定であったが，電場のポテンシャルを持つ場合に留まっている．磁場のポテンシャルの扱いが複雑なためである．
初年度に空間次元が2次元および3次元の場合の数値計算を行う予定であったが，現状は空間次元が1次元の場合の検討に時間がかかっている．先行研究との比較が難しいことが主たる理由である．
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| Strategy for Future Research Activity |
電場のポテンシャルを持つ場合は研究がかなり進んできたので，今年度以降は電磁場のポテンシャルを持つ場合の研究に進みたい．磁場のポテンシャルがある場合にも同じ方法で解の構成が得られると期待している．
数値計算においては，1次元の場合の数値計算を完成させ，先行研究と比較して，論文にまとめる．その後，空間次元が2次元あるいは3次元の場合の数値計算を行う．
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Report
(1 results)
Research Products
(2 results)
