Duality in Banach spaces and uniform spaces in constructive and predicative set theory
Project/Area Number |
22K03400
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Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Section | 一般 |
Review Section |
Basic Section 12030:Basic mathematics-related
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Research Institution | Japan Advanced Institute of Science and Technology |
Principal Investigator |
石原 哉 北陸先端科学技術大学院大学, 先端科学技術研究科, 教授 (10211046)
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Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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Keywords | 構成的数学 / 構成的集合論 / バナッハ空間 / 一様空間 / Banach空間 |
Outline of Research at the Start |
作図問題は、限られた道具や資源を用いて何がどこまでできるかを問う。本研究の核心は、数学理論により堅固な基礎を与える構成性と可述性に注目し、作図問題と同様に「構成性・可述性を保証するように論理・集合論を制限した場合、どのような数学理論がどこまで展開できるか」という独自の問いに迫ることである。 そのためのケーススタディとして、Banach空間における双対性と一様空間に焦点を当てる。Banach空間の双対空間の強位相は構成的に距離付け不可能であり、双対性を構成的・可述的に論じる際の大きな障壁になっている。強位相を一様位相として捉え、Banach空間における双対性理論の構成的・可述的展開を試みる。
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Outline of Annual Research Achievements |
数学理論により堅固な基礎を与える構成性と可述性に注目し、「構成性・可述性を保証するように論理・集合論を制限した場合、どのような数学理論がどこまで展開できるか」という独自の問いに迫るため、ケーススタディとして構成的かつ可述的な集合論CZFおよびその部分体系においてバナッハ空間における双対性と一様空間それぞれの理論の構築を試みた。 集合論における多くの恒等性(等号)は、集合とその上の同値関係を用いて商集合を構成することによって与えられているが、商集合を構成すると代表元に関する情報が失われてしまう。代表元の情報を取り出すためには選択公理が必要だが、選択公理を仮定すると構成性・可述性がともに崩れてしまう。そのため集合とその上の同値関係の対により定義されるセトイドを中心的な概念として扱う必要があることが判明した。 バナッハ空間の双対性を扱うためには、線形空間と原点を含む部分集合(単位球)およびそれにより生成される一様位相を考えればよいことが明らかになった。和とスカラー倍が連続になるために単位球が満たすべき条件を吟味した(している)。 このように捉えれば、一様位相は有向集合により添字付けされた基あるいは近傍族により与えることが自然であることが分かってきた。バナッハ空間が完備であることを考えれば、このように定義された一様位相の完備化を与えることが重要である。完備化の手法としてはコーシー・フィルターとコーシー・ネットがあるが、距離空間の場合の一般化として完備化を定義すればネットを用いることが自然である。この場合恒等性の問題と深く関係しており完備一様空間はセトイドとして与えなければならないことが判明した。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
集合あるいはセトイド、単位球が満たすべき性質、一様空間の与え方(基あるいは近傍族)完備化の手法(フィルターあるいはネット)など、理論を整合的かつ自然に構築するためには多くの深く結びついた問題を吟味する必要があることが判明したため。
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Strategy for Future Research Activity |
理論を整合的かつ自然に構築するために、多くの深く結びついた問題を辛抱強く地道に吟味していく。おそらく「集合あるいはセトイド」の問題はセトイドを用いるのが自然であり、セトイドを自然に扱える枠組みの構築を行っていく。一様空間の与え方「基あるいは近傍族」の問題は、距離空間の一般化としては基、単位球により生成される一様位相としては近傍系であり、整合的な枠組みを吟味していく。完備化の手法「フィルターあるいはネット」の問題は、距離空間の一般化およびバナッハ空間の定義の観点からすればネットであり、ネットを用いた完備化を中心に関連する「集合あるいはセトイド」や「基あるいは近傍系」などの問題を解決していく。
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Report
(1 results)
Research Products
(3 results)
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[Book] 証明作法2023
Author(s)
石原 哉
Total Pages
232
Publisher
共立出版
ISBN
9784320114890
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