| Project/Area Number |
22K03402
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12030:Basic mathematics-related
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| Research Institution | Shiga University |
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Principal Investigator |
篠原 雅史 滋賀大学, 教育学系, 教授 (70432903)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
須田 庄 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 准教授 (30710206)
野崎 寛 愛知教育大学, 教育学部, 准教授 (80632778)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | 距離集合 / Erdos distance problem / 格子 / 平面上の点配置 / Erdos distances problem / 極値組合せ論 / 代数的組合せ論 / 点の配置問題 / 擬ユークリッド空間 / 極値組み合わせ論 / 距離構造 |
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| Outline of Research at the Start |
よい点配置において，正八面体や立方体のように，現れる距離の自乗比が簡単な整数の比（1:2 や 1:2:3）で表されたり，正五角形や正十二面体のように，二次体の元として表されたりすることがある．よい点配置に現れる距離の値の代数的性質を用いてよい配置を特徴付けることが本研究の特色である．
エルデシュは平面上の n 点の点配置に現れる距離の個数は cn/sqrt(log n) より大きくなると予想した．先に述べた手法を用いて，この問題へアプローチすることが本研究の最大の目標である．
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| Outline of Annual Research Achievements |
正方格子と正三角格子それぞれにおける代表的な無限系列について、その漸近挙動を考察した。ここで、平面上の点配置に対し、頂点数を n、現れる距離の種類を k で表すことにする。n=10^8 では、距離の種類の割合は正三角格子の方が約 68% 少なくなることが確認できた（Erdos-Fishburn (1996) により、n=10^3 くらいで約 74% であることが知られていた）。本研究においては、この「隙間」が非常に重要な意味を持つ。さらに、ここまでの計算を通じて、三角格子の場合の距離の種類の対数型近似に対する Landau-Ramanujan 型定数についても、ある程度捕まえられるようになった。この内容含めて、応用数学研究交流会や早稲田組合せ論セミナーなどで講演を行った。
また、正三角形やパスなど特定の部分構造を含むよい距離集合についても考察を行った。そのような点配置に対して、強い制約付きであれば格子上の点配置に限られることがわかった。
高次元の点配置について、ペテルセングラフの自己同型群に着目して、対応する 5 次元点配置やその部分構造に関する考察を行った。このことについて、数理情報科学さくらセミナーで講演を行った。
昨年度から準備を重ねていた Minimal representations of graphs from the Seidel switching of the Johnson or Hamming graphs について議論を行い、投稿直前の段階に至っている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
今年度は大きな結果をあげることができなかったが、研究テーマが少しずつじっくりと時間をかける必要がある問題であると考えているため、焦らずに取り組んでいきたいと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
小さいな点配置から出発し、正三角格子や正方格子に制限したなかでの最良な点配置を分類する。これまで、格子上の良い例の構成に関する研究はあるが、「分類」という観点での結果は知られていない。代表的な無限系列に対して、距離の個数の上界、下界について考察する。また、正三角格子や正方格子に対して、その階層構造に着目し殻を加えていったときの距離の種類の増加の仕方を考察する。
一方で、自然な制約のもとで、平面上の点配置が格子上にのることがいえないか模索する。
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