| Project/Area Number |
22K03404
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12030:Basic mathematics-related
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
太田 克弘 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (40213722)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | グラフ理論 / 極値問題 / 閉路 / 大域構造 |
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| Outline of Research at the Start |
与えられたグラフにあらかじめ指定された部分構造が含まれるかどうかを判定するグラフ理論の問題について扱う。特に，辺の数や頂点の次数など様々なグラフ不変量との関連において，その最善な条件を追及する極値グラフ理論の研究を行う。部分構造としては主に，ハミルトン閉路に代表されるような大域的部分構造を扱う。どのような部分構造の存在判定が困難であるか，またどのような不変量と関連付けるとその存在判定が容易になるかについて，主としてハミルトン閉路を緩和した構造に着目して解明を進める。
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| Outline of Annual Research Achievements |
グラフ理論における典型的な研究対象であるハミルトン閉路を始めとして，グラフに含まれる閉路に関する極値問題について研究を進めた。グラフにハミルトン閉路が存在するための必要条件をもとに定義された，タフネスの概念がある。タフネスは，グラフから取り除く頂点数とそれによって生じる連結成分数の比を用いて定義される。ハミルトン閉路を持つグラフは1-タフであることが容易にわかるが，タフネスがある定数以上のグラフはハミルトン閉路を持つであろう，というChvatal(1973)の予想は，この分野の大きな未解決問題である。本研究では，グラフのクラスを制限したところでのChvatal予想について考え，グラフ2K_2を禁止誘導部分グラフとするグラフについて予想が成り立つことを示した。禁止する誘導部分グラフをさらに緩和させた場合についての考察も引き続き行っている。
グラフに含まれる閉路は，グラフの辺が増えるほどその種類が増えていく。その種類の増え方がどのような傾向を見せるのか，極値問題的な視点からの研究は古くから行われている。本研究では，グラフに与える条件としては最小次数条件を考え，k個の連続する長さの閉路，または公差2でk個連続する長さの閉路の存在について，既存の結果を改良する成果を得た。証明では，閉路を直接考えるのではなく，指定された2頂点を結ぶパスの長さに関する結果を巧妙な帰納法を用いて証明し，その系として閉路の長さに関する結果を得ている。
研究成果については，2022年12月に開催された応用数学合同研究集会で発表した。また2023年2月には，慶應義塾大学において若手研究者らを交えた研究集会を開催し，関連する若手研究者と情報交換や研究討論を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では，グラフにおいてどのような大域的部分構造が見つけやすく，どのようなものが見つけにくいか，という問題に着目し，様々な不変量による条件について考え，新たな極値問題への展開を目指している。今年度はまず，グラフのタフネスとハミルトン閉路の存在について，禁止誘導部分グラフによって制限されたグラフのクラスを考えるという視点から研究が進展した。グラフに含まれる連続する長さの閉路に関しても一定の成果があった。また，ハミルトン閉路という概念を緩和した構造についての新たな極値問題として，グラフに含まれる最長閉路と最長パスの長さの関係について，これまで知られていた一般のグラフにおける結果を，制限されたグラフのクラスにおいて考えることを始めている。以上の理由により，研究はおおむね順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
典型的な大域的部分構造として，引き続きハミルトン閉路やそれを緩和した構造が存在するための十分条件について研究していく。今年度は，誘導部分グラフとして 2K_2 を含まないという性質を持ったグラフクラスにおいて，タフネスという不変量がどのように影響するかについて考え成果をあげた。今後はこれを一般化し，より広いグラフクラスでの極値問題を考えていく。グラフクラスを広げるにあたっては，禁止する誘導部分グラフをより大きいものにすることによって，禁止の度合いを緩めることを考えている。一般に，タフネスが大きいグラフはある程度豊富な部分構造を持つことが期待されているが，タフネスが大きいことがハミルトン閉路のような構造の存在に直接繋がるかはまだあまりわかっていない。タフネスに加えて次数条件や禁止マイナー条件などを付加して，ハミルトン閉路やそれを緩和した構造が含まれるための十分条件を構成することを引き続き目指していく。
ハミルトン閉路が存在するという性質を緩和させた概念には様々なものがある。2-因子，最長閉路の長さ，最大次数の抑えられた2-連結全域部分グラフなど典型的なものに加えて，最長パスと最長閉路の頂点数の差について考える。ハミルトン閉路を含むグラフでは，その差は 0 であり，その差の大きさによってグラフがハミルトン閉路を持つという性質からどの程度離れているかを計ろうというものである。一般のグラフにおいては，その差が 1 や 2 になるための次数条件に関する研究があるが，本研究では他の様々な不変量を考察し，それらとの関係について解明していく。
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Report
(1 results)
Research Products
(4 results)
