| Project/Area Number |
22K03423
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
高橋 大輔 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (50188025)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
Fiscal Year 2026: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2025: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | max-plus代数 / 粒子系 / 可解系 / セルオートマトン / 基本図 / max方程式 / 漸近挙動 / ファジーセルオートマトン / 数理モデル / 離散系 / 可積分系 / 非線形系 |
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| Outline of Research at the Start |
Max-Plus方程式の数理モデルの構築手法について基礎から見直し、理論面と応用面の両方から手法の確立を目指す。理論面では、解の振る舞いの解析学的メカニズムと、解のパターンの幾何学的メカニズムに着目し、確率モデルも視野に入れながら、モデル構築のための厳密解析と手法の開発を目指す。応用面では、具体的な現象を対象に、Max-Plus方程式特有の強みを活かした数理モデルについて有効性の検証を行い、コンピュータープログラムによる実装やライブラリ開発を最終目標とする。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、(1) 可解なmax方程式の探索とその一般化、(2) 粒子系の3次元基本図の解析、(3) ファジーセルオートマトンの漸近解の解析、(4) max life-likeの厳密解の導出の4点について主に研究を行った。
(1)については、シフト演算子を導入した新しい方程式表現を提出し、一群の方程式の複雑度が多項式オーダーになることを解明した。この成果は、さらに大きい代数的枠組みへの発展が期待され、今後の展開に結びつくと思われる。
(2)については、1次元離散空間中を時間発展則によって移動する多粒子系について、運動量の空間平均の漸近挙動の解析について研究を行った。系の漸近挙動を表す密度－運動量平均の依存性グラフ、いわゆる基本図について、粒子密度とは独立な別の粒子パターン密度を導入し、その2つの密度によって基本図が一意的に表される系について、前年度に引き続き解析を行った。さらに、系をmax-plus方程式によって連続化しても同じ性質を持つものを発見し、基本図の厳密な導出に取り組んだ。
(3)については、セルオートマトンの時間発展則を多項式によって連続化したファジーセルオートマトンについて、時間無限大での解が一様解になるものについて、前年度に引き続き区間縮小の方法を利用した証明に取り組み、論文として発表した。また、その証明手法を応用できる他の系の探索を行い、いくつかの系の発見に成功した。
(4)については、lifeゲームの拡張であるlife-likeと呼ばれる2+1次元セルオートマトンについて、max-plus表現によって系の状態値を連続値に拡張したmax life-likeを提出した。系の特解である厳密解もmax-plus表現によって多数発見し、さらに系にパラメータを導入し、そのパラメータを含むようなmax-plus表現の統一的厳密解の導出に成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究の進捗状況は、当初の計画に従って順調に進行していると認識している。最終目標であるmax-plus方程式を用いた数理モデル構築のための手法の開発に向けて、現在は理論基盤の構築を行っている段階である。しかしながら、理論形成のためには、題材となる系の発見や系の性質に関する個別の導出・証明が必須であり、現在はその作業に重点を置いている。これについては多くの成果が得られており、後の年度での理論形成のための準備として順調に計画が進行している。ただし、得られた成果を総合すると、数理モデル構築の共通基盤が目論んでいる想定よりも一層拡大する可能性があり、次年度は、理論に関する情報収集、題材となる具体例の収集、それらの個別的な解析といった作業を引き続き行うことが求められる。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究は、最終的には、max-plus方程式の理論的基盤の形成と、それを応用した数理モデルの構築を目指している。しかしながら、「7．現在までの進捗状況」で述べたように、さらなる題材の収集と個別解析は必須となる。これら個別解析の一般化と深化によって、それら系全体を包括する共通の理論的基盤を得ることを目論む。そこで、次年度以降においては、本年度に取り上げたテーマの成果の更なる一般化に取り組み、個別理論の完成を目指す。また、数理モデルのmax-plus演算による系の表現の一般性や多様性についても引き続き研究を進めたい。また、数理モデルの応用については、その都度得られている成果に基づいて、やはり個別的な応用をまずは目指していくことを考えたい。このための準備はまだなされておらず、関係すると想定される現象を取り扱う分野に関する情報収集や研究者との交流から始めることが重要で、次年度以降に活動を開始する予定である。
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