Mathematical and numerical analysis of Sobolev gradient flows appearing in interface and materials science
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22K03425
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
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| Research Institution | Okayama University of Science |
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Principal Investigator |
榊原 航也 岡山理科大学, 理学部, 講師 (30807772)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岡部 真也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70435973)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
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| Keywords | Sobolev勾配 / 幾何学流 / Langmuir膜 / Kobayashi-Warren-Carter / 接線速度 / 反応拡散系 / 樟脳 / 特異極限 / 弾性流 |
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| Outline of Research at the Start |
シャボン玉，滴り落ちる水滴など，身の回りには時々刻々と変形する現象に溢れている．この現象を数理的に調べる問題は移動境界問題として知られ，数学のみならず物理など様々な分野で研究されている．本研究では，その中でも界面科学や材料科学にあらわれる問題に焦点を当て，数理モデルの妥当性を数学の立場から明らかにする．さらにコンピュータを用いて計算するためのアルゴリズムも開発し，現象を目で見て理解できるようにもする．
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| Outline of Annual Research Achievements |
L2内積に関する勾配流の数学解析は非常に進展しており，その数値解析手法も段々とではあるが洗練されてきている．本研究では，L2内積の代わりに高階のSobolev内積で勾配流を考え，その数学解析・数値解析を進めることが大きな目標である．
本年度は，岡部真也氏（東北大学）ならびに森洋一朗氏（ペンシルベニア大学）との共同研究として，Langmuir膜の数理モデルを見直すことから始めた．その結果として，まず，Alexander等の数理モデルにおいて曲線の長さの減衰評価を斉次Sobolevノルムを用いて具体的に書き表すことに成功した．また，Stokes作用素に対するDirichlet-to-Neumann写像の基本解を具体的に求めることで，速度場の同値な別表現を得ることに成功した．これにより放物型偏微分方程式論の立場からの解析を進めることができるようになり，解の時間局所存在を示すところまであと一歩のところまで来ている．
上記以外にも界面現象に関連する研究を推進し，（i）高次元領域におけるKobayashi-Warren-Carterエネルギーの特異極限の導出（上坂正晃氏，岡本潤氏，儀我美一氏との共同研究），（ii）接線速度込みのBスプライン曲線を用いた幾何学的勾配流の構造保存型数値解析（剱持智哉氏，宮武勇登氏との共同研究），（iii）反応拡散型樟脳モデルの特異極限（界面モデル）の導出およびそれらの数理解析（長山雅晴氏，物部治徳氏，中村健一氏，小林康明氏，北畑裕之氏との共同研究）も行い，（i）は論文が受理され，また（ii），（iii）は論文を投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Langmuir膜の数学解析・数値解析を進めるのが本研究課題の大きな目標であるが，その足がかりとなる結果を出すことができており，近いうちに論文を執筆できる程度の結果がまとまると考えられる．また，当初の予定になかった関連する研究課題でも研究成果を出すことができている．以上をまとめると，おおむね順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究成果を基に，Langmuir膜の数理モデルにおける解の局所存在を示す．その後，長さの時間微分の評価を用いた解の大域存在の証明を試み，これらの研究成果を論文としてまとめる．また，本来の研究計画になかったとしても関連する研究を積極的に推し進めて行く．
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Report
(1 results)
Research Products
(7 results)
