HDG法における反復型領域分割法の開発

Research Project

Project/Area Number	22K03432
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
Research Institution	University of Tsukuba
Principal Investigator	及川一誠筑波大学, 数理物質系, 准教授 (10637466)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2027-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000) Fiscal Year 2026: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2025: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2024: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2022: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Keywords	数値解析 / HDG法
Outline of Research at the Start	偏微分方程式の大規模な数値計算において，領域分割法に基づいた並列計算は非常に効果的である．本研究ではHybridizable Discontinuous Galerkin (HDG) 法における新しい反復型領域分割法の開発と数学解析を行う．同時に，インターフェース条件を介したカップリング問題に対しても，インターフェース上のハイブリッド変数を反復させるタイプのHDG法の開発を行う．最終的には，反復型領域分割法とインターフェース反復法を自然な形で融合させた数値計算手法の開発を目指す．
Outline of Annual Research Achievements	2次元Poisson方程式の斉次Dirichlet境界値問題をモデル問題とし，HDG (Hybridizable Discontinuous Galerkin)法に対するnon-overlapping Schwarz アルゴリズムの研究を行った． non-overlapping Schwarzアルゴリズムは，領域をいくつかの重複のないサブドメインに分割し，より小さなサブプロブレムたちに問題を分割し，より効率的な数値計算することを目的とする．個別にサブプロブレムたちを解いたあと，それらの数値解はサブドメイン間においてインターフェース条件を満足する必要があるが，通常はサブプロブレムの求解と更新プロセスを繰り返すことにより対処される．non-overlapping SchwarzアルゴリズムとしてDirichlet-Dirichlet法やNeumann-Neumann法など，様々なものが提案されているが，古典的なものとして，Dirichlet-Neumannアルゴリズムというものがある．今年度は，Dirichlet-NeumannアルゴリズムをHDG法に適合するように昇華させ，新アルゴリズムを考案し，それに関する研究を行った．新アルゴリズムのキーアイデアはシンプルで，HDG法の定式化で用いられるnumerical trace および fluxを，インターフェース条件における更新プロセスにおいて交互に用いることである．これにより，HDG法自体に特別な変更を加えることなく，non-overlappingアルゴリズムが実装できるようになった．長方形領域を一列に並んだ複数のサブドメインに分割した例において数値計算を実施し，良好な収束性を示すことを確認できた．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本研究の目的はHDG法における有効なnon-overlappingアルゴリズムを考案し，数学解析を行うことであった．今年度の研究結果により，HDG法に自然に実装できる新しいタイプのアルゴリズムを導出することができた．これにより，研究目的のひとつは達成されたことになる．したがって，おおむね順調に進展していると判断した．
Strategy for Future Research Activity	今年度の研究で得られたHDG法における新タイプのnon-overlappingアルゴリズムに対して，より詳細な数値計算を実施し，有効性の検討を行う．サブドメインへの分割数，サブドメインの領域形状に関するインターフェースにおける更新プロセスの収束性の調査も行う．