Studies on the Navier-Stokes equations by numerical methods
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22K03438
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
岡本 久 学習院大学, 理学部, 教授 (40143359)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 流体力学 / 非線形偏微分方程式 / 数値解析学 |
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| Outline of Research at the Start |
ナヴィエ・ストークス方程式は粘性流体の運動方程式であり、多くの研究者の注目を集めてきた。本研究では、まず、力学系理論から見たコルモゴロフ問題において粘性の小さな場合に見られる定常解の奇妙な性質を解析しようと思う。技術的な観点から言えば特異摂動現象の一つなのであるが、一般論を同方程式に適用しようとしてもすぐにはうまくいかない。これについて、数値的・摂動論的手法を用いて研究する予定である。流体力学に現れる流れを数値計算し、その不思議な特徴を明らかにし、その背景にあるメカニズムを発見する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
コルモゴロフ問題ではレイノルズ数が大きくてアスペクト比が小さい場合の数値実験を続けた。これまでの結果よりもより広範に数値実験を行い、解の安定性についても詳しいデータを得ることができた。レイノルズ数を大きくしてゆくと渦なしの流れに近づいてゆくのであるが、その近づき方が、外力のモードが奇数の時と偶数の時で違うことがわかっていた。しかし。その理論的背景はわかっていなかった。これに関し、モードについて群対称性が異なることに気づき、その対称性を使って、その違いを説明するというアイデアにたどり着いた。奇数の方が対称性が高く、渦なし流への収束も早い。レイノルズ数を無限大にし、アスペクト比をゼロにしたときに、いわゆる縮約系を発見した。これは元の2次元ナヴィエ・ストークス方程式よりも簡単であるが、それでもなお解析の困難な部分があり、現在その攻略法を検討中である。
Proudman-Johnson方程式についてはパラメータが１よりも大きいときに解の爆発が起きるという予想を解決すべく数値データの収集に努めた。その結果、境界条件を変えることによって解析がしやすくなる可能性が見えてきた。一方、これまでに行ってきた数値実験では精度が悪く、爆発のプロファイルを同定しづらい。より高精度な実験が必要と思う。
分数べきの放物型方程式の解の爆発については台湾の中山大学の卓建宏教授と共同研究を行っているが、ある一か所で、躓いており、そこの修正が容易でないため今は中断している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
コルモゴロフ流の漸近解析は韓国のChung-Ang大学のKim Sun-Chol教授とともに解析を続けている。群対称性と縮約系という二つの突破口は得たが、どちらもまだ困難が残っている。縮約方程式は流れ関数のフーリエ級数によってあらわされ、非局所的である。したがって、それから簡単な解を抽出することができていない。渦なしの部分はこの縮約系で理解可能であろう。ここでPrandtl--Bachelorの閉曲線理論を適用すると、より深い理解に到達できるであろう。
Proudman-Johnson 方程式の爆発についてはパラメータ a が1以上であるときの考察が多かった。 a < -3 の時はあまり考察されなかったが、これについても考察中である。ある種の境界値問題に解がないことを言えばよいのだが、何とかなりそうである。
分数べきの方は一か所うまくいかないところがあったが、これは理想を追求しすぎたという面があり、とりあえず、最適ではないが計算は進むというところで妥協すれば最小限の結果は出せるという目星がついた。また、分数べきのこれまでとは異なる離散化を思いつき、その数値計算の有効性を確認中である。2024年度中には論文にできるであろうと思っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
コルモゴロフ問題では渦なしの部分について考察を深めてきたが、ごく狭い領域に集中する高渦度流れについてはわかっていなかった。ここをどうするか、それを何とかしないと特異摂動理論は完成しない。縮約系についてはまだ計算に着手していないが、2024年の秋までには数値実験を始める予定である。これができれば、「そもそもレイノルズ数が巨大なところでどうして単純な流線が出現するのか」という根本的な原因がわかってくるのではないかと期待している。
Prandtl-Bachelorの閉曲線理論は今のところ数学の理論とはいいがたいところがあり、多くの都合の良い仮定をすることで結論を導くものである。これをもっと数学的にすっきりしたものにしたいと思っている。
分数べきの放物型方程式の差分近似については解の誤差評価さえうまくいけばよいのであるが、そこを解決すれば論文として発表できる段階にある。ここは少々力業でも不等式を導くことにした。一方で、そもそも分数べきをどう離散化するのが効率が良いのかあまり深く考察されてこなかったことにも気づいた。スペクトル法を使って離散すればできるが、本当にそれが最適なものなのかどうか、比較検討する仕事が残っていると思う。
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Report
(2 results)
Research Products
(6 results)
