量子エンタングルメントの視点からの多様なトポロジカル相の研究

Research Project

Project/Area Number	22K03448
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 13010:Mathematical physics and fundamental theory of condensed matter physics-related
Research Institution	Ibaraki University
Principal Investigator	福井隆裕茨城大学, 理工学研究科(理学野), 教授 (10322009)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2026-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000) Fiscal Year 2025: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000) Fiscal Year 2024: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Keywords	トポロジカル相 / エンタングルメント / エッジ状態 / 熱伝導方程式 / 高次トポロジカル絶縁体 / 戸田格子 / トポロジカル絶縁体
Outline of Research at the Start	量子力学的状態を記述する波動関数は複雑に絡み合っている。こうした量子絡み(エンタングルメント)を解すと、その背後にあるきれいな状態が見える可能性がある。こうした観点から物質のトポロジカルな性質の解明を目指す。このアイディアの最も有用な点は、対称性に護られたトポロジカル相が、その対称性の破れにどの程度安定であるかを議論できることである。
Outline of Annual Research Achievements	本研究課題は、多様なトポロジカル相の研究を量子エンタングルメントの視点から行うことである。R4年度は、主に2つのテーマに関して進展があったが、両者とも通常のトポロジカル相としての研究に留まり、エンタングルメントの視点までは踏み込めなかった。以下では、それぞれのテーマに関して概略を述べる。まず最初の課題は「高次トポロジカル熱伝導系におけるコーナー状態」である。通常、熱伝導方程式は連続体における熱の伝導を記述する現象論的方程式である。この熱伝導方程式は、熱伝導のフーリエ則とエネルギー保存則によって導かれる。我々は、これら2つの法則を格子上で考えることによって、いわば格子上の熱伝導方程式を導出した。これをカゴメ格子に適用することによって、高次トポロジカル絶縁体と同様な現象を、すなわちコーナー状態の存在を、熱伝導系で観測する方法を提案した。次の課題は「戸田格子の周期解とチャーン数」に関するものである。周期的戸田格子の厳密解を求める際に、境界に現れる状態のスペクトルを用いることはよく知られている。この境界の状態は、現在ではエッジ状態と呼ばれている状態である。このエッジ状態が、本当にトポロジーに起因したエッジ状態かどうかを調べた。最初に、ラックス演算子のエッジ状態の波動関数を用いて、ベリーの位相を計算し、これが非自明な巻き付き数を持つことを示した。その結果に基づき、次にチャーン数を計算し、ラックス演算子の固有状態は一般的にチャーン数-1を持つことを見出した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 「格子上の熱伝導」と「戸田格子とチャーン数」の2つの課題とも、エンタングルメントの視点からの研究が行われていない。また、結果を出すまでに時間がかかってしまい、論文も2本が投稿中で未だに出版はされていないため。
Strategy for Future Research Activity	基本的には、R4年度の2つの課題を継続して調べていく。同時に、新しい研究対象として「双曲面上のトポロジカル相の研究」を新規に立ち上げる予定である。まずR4年度からの継続課題であるが、これらは基本的には古典系なので、量子エンタングルメントという視点が本当に必要かどうかは定かではない。しかし、古典系でのトポロジカル現象として興味深い上、本科研費の研究課題に密接に関係しているので引続き考察を深めていく。また、新たな課題として最近多くの研究者から注目されつつある「双曲面上の格子模型」に取り掛かる。これは負の曲率を持った曲がった空間における格子模型である。2次元だが、周期境界条件を付けると種数が2以上になり、高次元の波数空間（ブリルアンゾーン）が実現できる。この高次元波数空間での量子トポロジカル現象を考えていく予定である。