Mathematical Analysis for Metaheuristics and its Application
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22K04593
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 25010:Social systems engineering-related
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| Research Institution | Otaru University of Commerce |
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Principal Investigator |
加地 太一 小樽商科大学, 商学部, 教授 (60214300)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 組合せ最適化問題 / メタヒューリスティクス / 確率的解析 / 近傍 / AR(1)プロセス / 局所探索法 / AR(1) プロセス |
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| Outline of Research at the Start |
組合せ最適化問題は，スケジューリング問題，配置問題など様々な意思決定問題で利用されている．これらの問題を解くための手法としてメタヒューリスティクスと呼ばれる一群の近似解法がある．そしてメタヒューリスティクスが経験的に良い解を導き出すことは多くの研究でも示されている．しかし，“なぜ，メタヒューリスティクスが良い解を導き出してくれるのか？”は一つの謎でもある．そこで本研究では，組合せ最適化問題の解空間に特徴的な性質が存在する仮定のもと，その解空間および解の探索過程を数理的にモデル化し，求まる近似解のコスト値などを推定する．特に，初年度は，解の移動の特徴を明らかにし研究の基盤を築く．
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| Outline of Annual Research Achievements |
組合せ最適化問題は，スケジューリング問題，配置問題など様々な意思決定問題で利用されている．これらの問題を解くための手法としてメタヒューリスティクスと呼ばれる一群の近似解法がある．そしてメタヒューリスティクスが経験的に良い解を導き出すことは多くの研究でも示されている．しかし，“なぜ，メタヒューリスティクスが良い解を導き出してくれるのか？” は一つの謎でもある．そこで本研究では，組合せ最適化問題の解空間に特徴的な性質が存在する仮定のもと，その解空間および解の探索過程を数理的にモデル化し，求まる近似解のコスト値などを推定する．それによりメタヒューリスティクスの各手法の性能を理論的（数理的）に解析し，その能力の謎を解き明かすことを目指す．
そのために，申請者 は，組合せ最適化問題の解空間における解のランダムウォークにおいて，現在の解のコスト値が一つ前のコスト値に依存するAR(1)プロセスとなる性質を示した．その性質を利用し解の近傍の解析を行い，近傍の統計量を汎用的に導き出していく．統計量とは，近傍の分布構造を表すパラメータ，近傍の最小コスト値の推定値である. この近傍の統計量が推定できれば，メタヒューリスティクス自体の性能を，近傍の統計量に基づき，問題に依存することなく理論的に導き出すことが可能となるであろう．
本年度は，多くの問題に対して解のランダムウォークがこのAR(1)の性質を満足しているか調査し，AR(1)としてモデル化し近傍の統計量を導き出すことが可能であるかの検証をおこなった．この特徴が多くの問題に見出すことが出来れば，特定の問題および近傍に限ることなく多くの問題に利用がはかれることとなる．すなわち，解空間がAR(1)を満足するという前提から，様々な問題に利用可能である数理的モデルが構築され，汎用的に適用可能な理論的解析の世界を築くことが可能となる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
近傍の性能を解析することはメタヒューリスティクスの能力を明らかにすることに繋がる．近傍に対する汎用的な解析は，現在の解とその近傍集合の平均値における関係を論じたものに限られ，近傍の探索能力の解析には至っていない．しかし，本研究では近傍の最小コスト値を汎用的に推定し近傍の能力を解析しつつある．その知見を用いて，アルゴリズムにより求まる局所解（近似解）のコスト値を，あらゆる問題に対して確率的に導出できれば，メタヒューリスティクスの性能に関して解明できると考えている．そのためにも，解析の基盤となる近傍構造をモデル化し数理的に解析を行う必要がある．
本年度においては，その解析の重要な仮定である“組合せ最適化問題はAR(1)であるか？” の検証を行った．提案される確率モデルは解空間がAR(1)であることが前提であり，AR(1)が成立すれば，精度の高い近傍の統計量の推定値が得られている．しかし，タイプの異なる様々な組合せ問題，付加する制約によりその振る舞いがどのようになるかは明らかではない．そこで，幾つかの組合せ問題に対象を広げ数値実験を行い，AR(1)に従っているかを検証した．
また，解空間がAR(1)となる仮定のもと解空間の統計量を導出し，その統計量をもとに解空間がガウス分布と仮定できるものとして近傍の確率モデルを構築した．また，そのモデルによりランダムグラフのTSP 問題に対して，2-opt，3-opt，挿入近傍で良好な解析結果を得ている．さらに実践的な事例（TSPLIB）に対して数値実験を行うなど多くの事例を扱いつつある．今後これらの知見をもとに，さらに多くの事例，近傍，問題の大きさなど様々なケースに対して解析を広げていく．
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| Strategy for Future Research Activity |
メタヒューリスティクスの基盤となる近傍の特性を解析するために，解空間の様相がAR(1)の特性を有しているかの確認を行いつつ、対象となる近傍の確率的解析を進めて行く．組合せ最適化問題の解空間において近傍点のランダムな評価値系列がAR(1)プロセスで支配され，解コストの同時分布にガウス性が伴う仮定を利用して汎用的に解析可能な近傍モデルを構築し，近傍の最小値を推定し，解の移動の性能の解析を試みる．
この確率的解析では，多くの統計量が推定できるが，特に，得られる近傍解の最小値の推定に関して理論的な数理モデルを構築し，近傍により得られる解の良し悪しを検討する．また，提案する確率的解析は，特定の事例に依存することなく，様々な組合せ最適化問題，そこで用いられる種々の近傍において確率的解析を行えるモデルの構築を行う．
さらに、別途なアプローチとして極値統計学の考えに基づき，容易な方法で近傍の最小値を推定し近傍の解析への応用をはかる．極値統計学は，極端な現象，すなわち，母集団分布の端（裾）に対する推測を行うことを対象とし，災害における極端な自然現象や，ファイナンスなどでのリスク評価のために応用される統計手法である．この考えを用い，近傍集合の分布の端（裾）における値を推定し，近傍の最小値に関して検討する．
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Report
(1 results)
Research Products
(1 results)
