大自由度非線形力学系に対するKoopman作用素論に基づく縮約理論の展開
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22K11919
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 60020:Mathematical informatics-related
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
中尾 裕也 東京工業大学, 工学院, 教授 (40344048)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
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| Keywords | 非線形振動子 / リミットサイクル / Koopman作用素 / 漸近位相・振幅 / 量子散逸系 / 非線形ダイナミクス / Koopman作用素論 / 縮約理論 |
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| Outline of Research at the Start |
実現象の多くは、流体現象に代表されるように、大自由度の非線形システムである。しかし、実現象を数理モデル化したとき、その多くは散逸力学系であり、系の状態は高次元の相空間中にあるアトラクターなどの低次元の多様体に近づく。よって、うまくその種の低次元の多様体近傍での運動を特徴づける主要な変数を見出すことができれば、大自由システムであっても、その時間発展を少数の変数により近似的に記述できることが期待され、現象を解析し、制御や最適化する上で有用である。本研究では、化学反応系や流体系、生体系などの具体的な現象の数理モデルを対象として、Koopman作用素論に基づく大自由度非線形系の縮約理論を発展させる。
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| Outline of Annual Research Achievements |
大自由度非線形力学系に対するKoopman作用素論に基づく縮約理論の展開に関して、2022年度は以下のような研究を実施した。
(i) 量子散逸系の非線形振動子に対して、Koopman作用素論の観点から漸近位相の定義を試みた。以前の研究で、古典確率系の非線形振動子に対しては、系を記述するFokker-Planck作用素の随伴である後退Kolmogorov作用素が確率的なKoopman作用素であり、その実部が最も虚軸に近い複素数のペアに対応する固有関数を漸近位相と捉えられることを示していた。この考えを拡張して、系が量子的なLindblad型の(超)作用素で記述される場合について、その随伴(超)作用素がKoopman作用素であることを示し、その固有作用素を用いて漸近位相を定義できる可能性があることを示し、数値解析により量子van der Polモデルに関してこの考えが妥当性を持つことを示した。
(ii) 非線形振動子の測定データから、漸近位相と振幅を表す関数を推定する手法を提案した。これらの関数は、系のKoopman作用素の固有値と固有関数に対応し、動的モード分解法によってそれらをデータから推定できることは知られているが、実際に低次元の振動子でこれを実行すると、必ずしも推定精度が高くない場合があることが分かった。これを解決するために、固有値と固有関数を同時推定するのではなく、まず固有値に対応する振動数とFloquet指数を別途測定した上で、固有関数に対応する漸近位相と振幅関数を推定する方法を提案した。数値実験により、低次元の非線形振動子のモデルから得たデータから、データ量が十分にあるという条件下で、良好な精度で推定できることを確認した。
得られた成果は学会・研究会および論文にて公表した。その他、関連する複数の研究を実施した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Koopman作用素論に基づく非線形ダイナミクスの解析、特に非線形振動子の縮約記述において重要な役割を持つ漸近位相と振幅を主な研究対象として研究を進め、上記を含む複数の成果を得た。2022年度は合計7本の論文を国際学術誌に公表した他、国際会議や研究会でも複数回の発表を実施し、研究は当初の計画以上に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
Koopman作用素論に基づく非線形ダイナミクスの解析をさらに推し進める。特に、量子散逸系における漸近位相・振幅関数の物理的な妥当性の検証、測定データから求めたKoopman固有値・固有関数に基づく縮約モデルの構築とその妥当性の検証、より大自由度の系の解析などを発展させてゆく。
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Report
(1 results)
Research Products
(14 results)
