| Project/Area Number |
22K11928
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 60030:Statistical science-related
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
久保川 達也 東京大学, 大学院経済学研究科(経済学部), 教授 (20195499)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
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| Keywords | 小地域推定 / 線形混合モデル / スタイン問題 / 縮小推定 / ミニマックス性 / 統計的推測理論 / 混合効果モデル / 高次元解析 / 推定方程式 |
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| Outline of Research at the Start |
統計的推測において直面している諸問題に対して，数理統計の立場から新たな解決策を導出し，有効性・最適性・一致性・ミニマックス性などの理論的な性質を調べ，現実のデータ解析を通して応用面からの有用性を示す。具体的に取り組む問題は，混合効果モデルに基づいた小地域推定理論の新展開，平均行列や共分散行列などの多次元母数推定に関する縮小推定理論の新たな展開，高次元多変量解析理論の新展開，推定方程式における一段階推定法の有効性と有用性などである。特に小地域推定は官庁統計・政府統計の分野において重要な分野であり，数理統計からの理論的な解決策がこの分野のデータ解析に大きな貢献を与えると期待される。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では，統計的推測において直面している諸問題に対して，数理統計の立場から新たな解決策を導出し，推定誤差の漸近２次近似による評価や有効性・最適性などに関する理論的な性質を調べ，現実のデータ解析を通して応用面からの有用性を示すことを目的として実施した。
特に，研究課題で掲げた（Ｃ）高次元多変量解析理論の新展開を取り上げ，多変量線形回帰モデルの変数選択問題において新たな変数選択手法の導出を行った。大標本においては，ベイズ情報量規準(BIC)には一致性があるものの赤池情報量規準(AIC)には一致性がない。一方で高次元の枠組みでは，AICが一致性をもちBICは一致性をもたないことが知られている。そこで，高次元の場合はAICを選択し大標本のときにはBICを選択するような重み付け事前分布を考え，その事前分布から重み付きベイズ情報量規準を導出し，それが大標本においても高次元においても一致性をもつことを証明した。これは，従来の手法であるAIC, BICの弱点を補う手法であり，数値的にも優れていることを示した。
また（Ｂ）平均行列や共分散行列などの多次元母数推定に関する縮小推定理論の新たな展開について，罰則項に対数関数を組み込んだ罰則付き最小2乗推定量を考えた。この方法によって求まった縮小推定量は，従来の縮小推定の枠組みに入らないので，直接リスク関数を評価してミニマックス性を解析的に証明した。また，数値的には打ち切りスタイン推定量に近い挙動をしていることもわかった。打ち切りスタイン推定量が不連続な点を含むのに対して，新たに導出された手法は微分可能であるという利点がある。以上の議論は正規分布のもとで調べたが，同様な方法でポアソン分布の新たな縮小推定量の導出とミニマックス性の証明を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
理由
（A)混合効果モデルに基づいた小地域推定理論の新展開については，ベンチマーク問題において，新たなベンチマーク経験線形縮小予測量(BELS)を導出して提案した。また分布を仮定しないノンパラメトリックな設定のもとで平均２乗誤差の２次漸近近似を求め，その２次漸近不偏推定量を導出した。このことは，研究課題の一つの目標が達せられたことを意味する。
（B)平均行列や共分散行列などの多次元母数推定に関する縮小推定の新たな展開については，平均行列の加重縮小推定に関して，Efron-Morris推定量とJames-Stein推定量の加重平均を考え，そのときの重みをリスク関数の不偏推定量を最小化することによって求め，ミニマックス性を示すことができた。また共分散行列が未知のとき事前分布を上手にとることによって一般化ベイズ推定量を明示的に与えられることを示し，リスクの不偏推定量を評価することによってミニマックス性の条件を求めた。また，罰則として対数関数を組み込んだ罰則付き最小2乗推定量を考え，直接リスク関数を評価してミニマックス性を解析的に証明した。このことは縮小推定に関しては研究課題の目標がある程度達せられたことを示している。
（Ｃ）高次元多変量解析理論の新展開については，多変量線形回帰モデルの変数選択問題において新たな変数選択手法の導出を行った。高次元の場合は赤池情報量規準を選択し大標本のときにはベイズ情報量規準を選択するような重み付け事前分布を考え，その事前分布から重み付きベイズ情報量規準を導出し，それが大標本においても高次元においても一致性をもつことを証明した。このことは高次元解析理論に関しては研究課題の目標がある程度達せられたことを示している。
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| Strategy for Future Research Activity |
（Ｄ）推定方程式における一段階推定法の有効性と有用性については，ニュートン法の繰り返し計算を1回目で停める一段階推定法について，漸近的には最尤推定量と同等になるような初期推定量の条件を明確にする。１次の漸近バイアスを求めることなく２次漸近不偏な推定量を与えるFirth(1993, Biometrika)の方法を組み入れて，2次漸近不偏性をもつ一段階推定法の導出を検討する。さらにガンマ分布の母数推定など様々な推定問題について導出された一段階推定法を適用し有効性と有用性を調べる。
研究課題（Ｄ）に関連して，漸近2次不偏なベイズ推定量を与える事前分布の特徴付けを行う。Firthの方法は尤度方程式を最大化する最尤推定量に関連するものであるが，そのときに使われる罰則項を事前分布として直接利用することはできない。そこで，事後分布の平均についてラプラス近似を用いた上で推定量の期待値が2次不偏になるような事前分布の条件を導出する。こうしたアプローチの重要な応用例は，研究課題（Ａ）に関連しており，線形混合モデルにおける分散成分の推定において，2次不偏なベイズ推定量の導出を行う。分散成分の最尤推定量は正の確率で0で分散成分を推定する場合があり，信頼区間の構成などにおいて不都合が生ずることが知られている。新たに導出される推定量はこの点を克服していることが期待されるが，その点を数値的に調べる。
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