擬似乱数と準乱数によるモンテカルロ統計計算の研究

Research Project

Project/Area Number	22K11945
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 60030:Statistical science-related
Research Institution	Ritsumeikan University
Principal Investigator	原瀬晋立命館大学, 理工学部, 講師 (80610576)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2026-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000) Fiscal Year 2025: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000) Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000) Fiscal Year 2023: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000) Fiscal Year 2022: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Keywords	擬似乱数 / モンテカルロ法 / 準モンテカルロ法 / マルコフ連鎖モンテカルロ法 / 統計計算 / ベイズ統計学
Outline of Research at the Start	乱数を用いた、確率現象シミュレーションや数値積分などの数値計算法を総称して、モンテカルロ法と呼ぶ。モンテカルロ法は、計算機の飛躍的向上に伴って、統計計算に必要不可欠な道具となっているが、収束の遅さや適切な乱数生成など、解決すべき問題点は多い。本研究は、モンテカルロ統計計算において有用な、擬似乱数・準乱数の開発と応用、ソフトウェア実装を目的とする。特に、研究代表者のこれまでの研究を発展させ、(1)マルコフ連鎖モンテカルロ法のための準乱数の改良とソフトウェアの作成、及び、ベイズ統計計算への応用、(2)小容量で高速なメモリに対応した、小型でメモリ効率の良い、高性能な擬似乱数発生法の開発を目指す。
Outline of Annual Research Achievements	マルコフ連鎖モンテカルロ(MCMC)法のための準乱数とその応用に関する研究を行った。特に、2021年3月にJCAMより出版された研究代表者の論文における準乱数の設計方法の一般化を行い、論文を執筆して投稿した。 MCMC法のための準乱数では、短い周期の擬似乱数発生法を準備して、一周期使い切った際に現れる格子構造を逆手に取って利用して、準乱数として用いる方策を取る。ここで、準モンテカルロ法の分野で伝統的に使われている、t値と呼ばれる非負整数に基づき一様性を評価する。先行研究のJCAM論文では、二元体F2上の短周期Tausworthe発生法のパラメータを上手く決定し、2次元のt値が最適値0、3次元以上についても小さいt値をもつ準乱数を得た。しかしながら、梶浦-松本-鈴木により、F2上の演算に限ると、3次元のt値が最適値0を達成する最大周期Tausworthe発生法は存在しないことが証明されている。ここで、3次元のt値が0となる準乱数の構成は学術的にも応用面からも大変興味深い。この要請を満たすため、先行研究の方法を二元体F2から一般の有限体に拡張し、位数3、4、5の有限体に対して、短周期Tausworthe発生法のパラメータを全数探索した。特に、位数4の有限体F4について、3次元のt値が0となる筋の良いパラメータが見つかった。さらに、拡大体における状態遷移行列を用いた高速生成アルゴリズムの着想を得て、F4上のTausworthe発生法に対して、F2の場合と等速で高速生成できるプログラムを作成した。また、MCMC法の数値実験として、ボストン住宅価格データを用いた線形回帰モデルのベイズ推定に適用して、本研究のF4上の準乱数、並びに、先行研究のF2上の準乱数の両者ともに、通常の乱数と比較して、収束性の大幅な改善が得られることを確認した。これらの結果をまとめ、論文を執筆し、投稿した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 研究課題の初年度として、研究計画調書に記載した通り、研究を順調に遂行することが出来た。さらに、当初想定していなかった、二元体の拡大体における高速生成アルゴリズムの精緻化、及び、線形回帰モデルのベイズ推定などの相性の良いMCMC法の応用事例が見つかり、学術的な関心のみならず、実用化に結び付く研究成果が得られた。また、論文を一通り書き終えて、年度内に、投稿に至った。このため、おおむね順調に進展していると判断した。
Strategy for Future Research Activity	現時点で、2023年8月に早稲田大学で開催される国際会議ICIAM 2023 Tokyoでの口頭発表が決定している。ICIAM 2023 Tokyoでは、準モンテカルロ法の分野において第一線の海外研究者が、多数、来日予定であり、最先端の研究動向を勉強するとともに、研究成果発表を行い、海外研究者との研究討議の場として活用したい。また、研究計画として、t値に主眼を置いた、MCMC法のための準乱数の設計に関する研究は一区切りついたと言える。そこで、いままでの研究を通じて得られた準乱数を用いて、様々な統計モデルのベイズ計算に適用して、マルコフ連鎖準モンテカルロ法の応用研究を目指す。合わせて、擬似乱数、及び、準乱数のプログラムを整理して、ソフトウェア作成を進める。