Additive number theory in number fields

Research Project

Project/Area Number	22K13886
Research Category	Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
Allocation Type	Multi-year Fund
Review Section	Basic Section 11010:Algebra-related
Research Institution	Tohoku University
Principal Investigator	甲斐亘東北大学, 理学研究科, 助教 (00804296)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2027-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000) Fiscal Year 2026: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2024: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000) Fiscal Year 2023: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000) Fiscal Year 2022: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Keywords	数体の素元 / 組合せ論 / Green-Tao-Zieglerの定理 / 同時素元値 / 数論的関数 / 素数分布 / 高階Fourier解析 / 冪零列 / 素元 / 位相群 / 篩法 / フーリエ解析 / ゼータ関数 / L関数 / 数体 / 組み合わせ論 / 加法的整数論 / Green-Taoの定理 / 組合わせ論
Outline of Research at the Start	Green-Tao-Zieglerの3氏による素数に関する研究を、整数の平方根なども含むような高次元な数の体系である、代数的整数（数体）に拡張したい。 Green-Tao-Zieglerの研究の大まかな枠組みは、踏襲することができる。ただし、随所で高次元化を施す必要がある。ある箇所ではFourier解析や、さまざまな不等式のテクニックが必要となる。別の箇所では、代数的整数論の知見を用いると見ている。
Outline of Annual Research Achievements	計画2年目である2023年度は、かなり緩い仮定のもとで複数の整数係数一次式の同時素数値を保証するGreen-Tao-Zieglerの定理を、一般の数体の整数環係数で同時素元値を保証する形に拡張する作業を完了した。次いで、これを多様体の有理点の存在問題に応用した。 Green-Tao-Zieglerの定理は素数の組合せ論の分野の有名な定理である。もっと有名なGreen-Taoの定理は、素数からなる任意の長さの等差数列が存在するとするが、これを特殊な場合として含む。主張は次のとおりである。f_1, ..., f_t をいくつかの変数に関する整数係数一次式とし、その定数部分を取り除いて得られる線型部分は互いに他の有理数倍になっていないとする。そして更に、どんな素数 p に対しても、変数の値を適切に定めると、その時の f_1, ..., f_t の値がすべて p と互いに素にできるとする。このとき、f_1, ..., f_t が同時に素数（Zの素元）になるように変数の値を定めることができる。また、そのような変数の値の漸近的な個数も計算できる。証明のための全体的な戦略は、整数の場合を踏襲した。ただしこれを実行するには労力が要った。証明には素数と関わりない純然たる組合せ論の部分と、これを素数に適用するために数論的関数の評価計算をおこなう部分がある。組合せ論に関しては、Green-Tao-Zieglerが得ていた Z における諸結果を、整数環のような階数2以上の自由アーベル群に拡張する作業がまず必要であった。数論的関数の評価では、一般の整数環では Z とは異なり、元とイデアルが別の概念となることから、新たな工夫が要求された。有理点への応用のためには、整数環を局所化した環に対する類似の定理を用いる。これを証明するために、もとの定理を、整数環そのものだけでなくイデアルに対して適切に拡張した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 1: Research has progressed more than it was originally planned. Reason 大きな中間目標であった定理を、想定よりも早期に証明できた。これは必要な組合せ論の整備が意外と平坦な道だったことによる。拡張する必要のあったGreen-Tao-Zieglerの諸結果（およびMannersによる改良、Tao-Teravainenによる整理）は、いずれも高く評価されている重要なものであるが、これを高階の自由アーベル群に拡張する作業は本質的に新しい数学的寄与なしに達成できることが判明した。あるものは Z の場合に帰着でき、あるものは原証明のごく一部が高階の場合にも有効であることを確認するだけで足りた。エキサイティングな新しい数学を生み出すチャンスにならなかったのはやや残念であるが、一旦整備がなされれば中身を詳しく知らなくても別の研究に応用できるので、学界への少なからぬ貢献になったと考えている。現に、筆者が整備した結果を早速使ってくださっている研究者がいて、感謝の言葉をいただいた。励みになる。
Strategy for Future Research Activity	有理点への応用だけ考えれば、Green-Tao-Zieglerの定理よりも、少し似ているが性格の異なるBrowning-Matthiesenの定理の数体版のほうが便利である。これを探求するのが今後有用であると考えている。ただ、Browning-Matthiesenの定理は素数・素元についての定理ではないので、数についての興味という点で、素元を考えることも続けていきたい。次数1の素元のノルムを取ると素数を得るので、素数値多項式に関しても新しい結果を出せると嬉しい（現に、数体のGreen-Tao-Ziegler定理を示すことにより、多変数版Schinzel予想の成り立つ新たな多項式族を大量に与えたことになる）。