フリップの停止問題への特異点理論からのアプローチ

• Project/Area Number: 22K13888
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 中村 勇哉 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20780034)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2027-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000); Fiscal Year 2026: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2023: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
• Keywords: 極小モデル理論 / ACC予想 / LSC予想 / PIA予想 / 特異点 / 極小ログ食い違い係数 / MLD

Outline of Research at the Start

本研究の目的はフリップの停止問題の解決を目標に据え、関連する様々な問題に、特異点理論からアプローチすることである。フリップの停止問題は極小モデル理論において重要な未解決問題の一つである。フリップの停止問題は特異点の問題である2つの予想（ACC予想とLSC予想）から従うことがShokurovにより証明されている。本研究ではACC予想とLSC予想の解決を目指す中で、特異点不変量に関する理解や、特異点解消との関係性についても理解することを目指している。

Outline of Annual Research Achievements

今年度は、昨年度に引き続き、商特異点の極小ログ食い違い係数について研究した。超商特異点とは超曲面特異点の有限商となっているような特異点のクラスである。極小ログ食い違い係数に関する予想としてLSC(lower semi-continuity)予想とPIA(precise inversion of adjunction)予想があり、極小ログ食い違い係数を研究するモチベーションとなっている。

昨年度までの研究において、群作用が線形である場合に、PIA予想とLSC予想の成立を証明した。また、さらにそれを群作用が線形と限らない場合に証明している。いずれの場合も、超曲面の定義多項式が、群作用で不変な場合を扱っていた。本年度は、柴田康介氏との共同研究により、超曲面の定義多項式が群作用で不変とは限らない場合(semi-invariantの場合)を研究し、その場合のPIA予想とLSC予想の成立を証明した。このカテゴリーは、3次元端末的特異点を含んでいるため、より自然なクラスであり、応用も期待できる。また、Cartierとは限らないWeil因子へのPIA予想を証明した初めてのカテゴリーである点でも重要だと考えている。

昨年度までの研究と同様に、証明には弧空間の理論を用いている。今回の新しい点は、semi-invariantな元を扱うために、新しい不変量を導入している。この不変量が、極小ログ食い違い係数を弧空間で表示する際に重要となっている。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究では、超曲面特異点の有限商となっているような特異点のクラスを扱っている。昨年度までに、一番重要なinvariantケースについて理論を完成させた。今年度は、残っていたsemi-invariantケースについて理論を完成することができた。

Strategy for Future Research Activity

超曲面特異点に限らない一般の商多様体について、弧空間の理論を発展させることを目標としている。

Research Products

• [Journal Article] On generalized minimal log discrepancy (2024)
  • Author(s): CHEN Weichung、GONGYO Yoshinori、NAKAMURA Yusuke
  • Journal Title: Journal of the Mathematical Society of Japan Volume: 76 Issue: 2 Pages: 393-449
  • DOI: 10.2969/jmsj/90119011
  • ISSN: 0025-5645, 1881-1167, 1881-2333
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Upper bounds of orders of automorphism groups of leafless metric graphs (2023)
  • Author(s): Nakamura Yusuke、Song JuAe
  • Journal Title: AKCE International Journal of Graphs and Combinatorics Volume: 21 Issue: 1 Pages: 71-76
  • DOI: 10.1080/09728600.2023.2251042
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Presentation] Minimal log discrepancies of quotient singularities (2023)
  • Author(s): 中村 勇哉
  • Organizer: FRG Special Month in Ann Arbor
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Ehrhart theory of periodic graphs (2023)
  • Author(s): 中村勇哉
  • Organizer: FRG Special Month in Ann Arbor
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Ehrhart theory on periodic graphs (2023)
  • Author(s): 中村 勇哉
  • Organizer: 九州大学代数学セミナー
  • Invited
• [Presentation] Minimal log discrepancies of quotient singularities (2023)
  • Author(s): 中村 勇哉
  • Organizer: Recent Developments in Algebraic Geometry, Arithmetic and Dynamics Part 2
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Shokurov’s index conjecture and PIA conjecture for quotient singularities (2023)
  • Author(s): 中村 勇哉
  • Organizer: 城崎代数幾何学シンポジウム2023
  • Invited
• [Presentation] Ehrhart theory of periodic graphs (2023)
  • Author(s): 中村 勇哉
  • Organizer: The 1st Algebraic geometry Atami symposium
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Toward an Ehrhart theory of periodic graphs (2023)
  • Author(s): 中村 勇哉
  • Organizer: Order seminar in Osaka
  • Invited
• [Presentation] Minimal log discrepancies of quotient singularities (2022)
  • Author(s): 中村勇哉
  • Organizer: JAMI Conference 2022: Higher Dimensional Algebraic Geometry
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Minimal log discrepancies of quotient singularities (2022)
  • Author(s): 中村勇哉
  • Organizer: Algebraic Geometry Seminar
  • Invited
• [Presentation] Minimal log discrepancies of quotient singularities (2022)
  • Author(s): 中村 勇哉
  • Organizer: 代数学シンポジウム2022
  • Invited
• [Presentation] Minimal log discrepancies of quotient singularities (2022)
  • Author(s): 中村 勇哉
  • Organizer: Birational Geometry Workshop at BIMSA
  • Int'l Joint Research / Invited