| Project/Area Number |
22K13890
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Toho University |
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Principal Investigator |
土谷 昭善 東邦大学, 理学部, 講師 (30836953)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | 格子凸多面体 / トーリックイデアル / 次数 / 余次数 / クリーク数 / 彩色数 / 彩色 / 2次生成 / Kempe同値 / パーフェクトグラフ / 理想的縮約グラフ / トーリック多様体 / トーリック環 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究は可換環論・代数幾何学・数え上げ組合せ論・組合せ論的トポロジーなどの多様な分野が交叉する格子凸多面体論における懸案の未解決問題の解決を目的としている．実際，Unimodal予想，Gal予想,小田予想，Bogvad予想の４つの予想を同時に考えることで，新たに「非特異反射的凸多面体のh*多項式はγ-positiveである」ということを予想し，それを解決することで，上記の未解決問題の一般的解決の端緒を探る．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，可換環論・代数幾何学・数え上げ組合せ論・組合せ論的トポロジーなどの多様な分野が交叉する格子凸多面体論における懸案の未解決問題の解決である．今年度の研究では，関西学院大学の大杉英史氏，毛利健太氏，東邦大学の本村諒氏との共同研究により，有限グラフに付随する安定集合トーリックイデアルの極小生成系の最大次数の上限を，グラフの彩色に関する性質を用いて与えることに成功した．その結果を用いて，グラフ理論の「多重二部グラフの任意の辺彩色が3色部分グラフ変形により移り変わる」という既存の結果と，可換環論の「二部グラフのマッチング凸多面体のトーリックイデアルが3次以下の二項式で生成される」という既存の結果が同値であることを証明した．この結果により，グラフ理論と可換環論の新たな相互関係を発見するに至った．さらに，この結果を二部グラフではなく一般のグラフに広げて考えることで，「一般のグラフのマッチング凸多面体のトーリックイデアルが4次以下の二項式で生成される」という予想を提唱した．
また大阪大学の松下光虹氏との共同研究により，安定集合凸多面体の余次数がグラフの重要な普遍量であるクリーク数と彩色数の中間に位置する普遍量であることを示した．この結果により，グラフ理論において安定集合凸多面体の余次数が重要な意味を持つ可能性を持つことがわかった．さらに，マッチング凸多面体の余次数をグラフの次数を使って計算する公式を与えた．またこれらの結果を用いて安定集合凸多面体のトーリックイデアルのCastelnuovo--Munford正則度の下限をグラフの普遍量を用いることで与えた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでわかっていた安定集合トーリックイデアルの2次生成性の特徴づけを大幅に一般化する結果を得ることができ，また安定集合凸多面体の余次数が凸多面体論だけでなく，グラフ理論でも重要な普遍量であることがわかったため．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究で，マッチング凸多面体のトーリックイデアルが4次以下の二項式で生成されると予想している．この予想は，グラフ理論の古くからの予想と関連がある．今後はこの予想を取り組み，グラフ理論の予想の解決を目指す．
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