| Project/Area Number |
22K13899
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | The University of Tokyo (2023)
Keio University (2022) |
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Principal Investigator |
山田 一紀 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員 (20896683)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000)
Fiscal Year 2026: ¥390,000 (Direct Cost: ¥300,000、Indirect Cost: ¥90,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2024: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2023: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | p進コホモロジー / Hyodo--Kato理論 / アイソクリスタル / 基本群 / Hyodo-Katoコホモロジー / Poincare双対性 / Hyodo-Kato同型 / p進Hodgeコホモロジー / (φ,N)加群 / 拡大群 / ポリログ / レギュレーター / p進Hodge理論 |
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| Outline of Research at the Start |
代数多様体とは多項式方程式で定義される空間であり、その性質を測る不変量として様々なコホモロジーの理論が知られている。代数多様体の定義方程式を素数pについてmod pすると滑らかでなくなる状況ではコホモロジーのp進的な扱いが難しく、整数論への応用にもしばしば困難が伴う。本研究では、具体的な計算に適したp進解析的コホモロジーの理論を整備し、p進ポリログやp進レギュレーターの計算に応用することを目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は主にリジッド解析的Hyodo--Kato理論とその応用について研究を行った. リジッド解析的Hyodo--Kato理論とは, p進解析空間のHyodo--Katoコホモロジーとde Rhamコホモロジーを比較する理論であり, その比較を与える写像をHyodo--Kato写像と呼ぶ.
Hyodo--Katoコホモロジーの係数層である対数過収束アイソクリスタルが冪単な場合にはHyodo--Kato写像が同型になることが以前の研究で分かっていた. 今年度の研究ではその一般化として, Frobenius構造を持つ対数過収束アイソクリスタルに対してHyodo--Kato写像が同型になることが分かった. 高次順像などの幾何的な手法で生じる対数過収束アイソクリスタルの多くはFrobenius構造を持つと期待されるので, この度の結果によりリジッド解析的Hyodo--Kato理論の応用の範囲が大きく広がったと言える.
さらに基本群のHyodo--Kato理論の構築に向けた研究も行った. 混標数完備離散付値環にcanonical log structureを入れたものをV, 剰余体のWitt環にhollow log structureを入れたものをWとし, Yを剰余体上の強半安定対数スキームとする時, YのV上及びW上の対数過収束アイソクリスタルのなす圏を比較することが目的である. 今年度の研究では, YのW上のF-ableな対数過収束アイソクリスタルのなす圏からYのV上の対数過収束アイソクリスタルのなす圏へのcanonicalな忠実完全関手を構成した. この関手の構成を適切なクラスの対数過収束アイソクリスタルの圏に一般化もしくは制限することにより, 淡中基本群の比較へ発展させることが今後の課題となる.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度の目標としていたHyodo--Kato写像の同型性については, 一区切りとして良いであろう結果が得られた. 基本群の比較についても一定の結果が得られたため, これらについては想定より順調に進展したと言える.
一方で, 既発表プレプリントの修正にあたっては, 引用している文献の間違いが分かったことから想定よりも時間がかかったため, 成果の取りまとめはやや遅れている.
総合して, 概ね想定通りの進捗状況と言える.
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| Strategy for Future Research Activity |
まず, 今年度の研究で得られた結果を淡中基本群の比較に発展させるため, F-ableなアイソクリスタルと一般のアイソクリスタルの関係について情報収集と考察を進める.
また次の大きな目標として乗法群の半安定還元を用いたp進ポリログの計算を進め, Beilinson--Deligneの手法を適用することによりZagierのポリログ予想のp進類似の証明に取り組む.
さらに, Hyodo--Kato理論に関連する問題として相対対数リジッドコホモロジーの有限性に関して着想も得られたので, こちらも検討を進める.
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