測度距離空間の幾何における収束理論

Research Project

Project/Area Number	22K13908
Research Category	Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
Allocation Type	Multi-year Fund
Review Section	Basic Section 11020:Geometry-related
Research Institution	Ehime University
Principal Investigator	中島啓貴愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 助教 (50889368)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2027-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help	¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000) Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2025: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2024: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000) Fiscal Year 2023: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000) Fiscal Year 2022: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
Keywords	測度距離空間 / 測度の集中現象 / オブザーバブル距離 / リプシッツ順序 / ボックス距離 / 等周不等式 / 空間列の収束 / 輸送計画
Outline of Research at the Start	本研究の目的は，測度距離空間の幾何における収束理論の進展である.測度距離空間は，リーマン多様体のクラスを含むような広い空間の概念である.測度距離空間の幾何においては測度距離空間全体の空間を考え，そこに定まる距離や位相を利用することで個々の測度距離空間の性質を調べることが一つの大きなテーマである.これは，コンパクト距離空間全体の空間にGromov-Hausdorff距離を定めて，個々の距離空間の性質を調べることと同様である．
Outline of Annual Research Achievements	測度の集中現象は、「任意の1-Lipschitz関数がほぼ定数関数とみなせる」という高次元空間特有の現象である。Gromovは測度の集中現象を元にして測度距離空間全体の空間上にオブザーバブル距離を定義した。さらにGromovは、オブザーバブル距離のコンパクト化の具体的な構成を与えている。その構成はピラミッドによるコンパクト化と呼ばれている。ピラミッドによるコンパクト化で重要な役割を果たすのが、リプシッツ順序とボックス距離である。中島はリプシッツ順序を誤差つきに拡張することで、リプシッツ順序を用いた議論が見通しよくなることを明らかにしていた。特に、誤差つきリプシッツ順序を用いることで、ボックス距離の収束に関してリプシッツ順序が保たれることが見通しよく示される。今年度は、リプシッツ順序を誤差つきにしたものと、以前から知られていた誤差付きのリプシッツ写像との関係性を明らかにした。したがって、誤差付きのリプシッツ写像を用いた議論が誤差つきリプシッツ順序の議論に翻訳できることになる。これにより、以前よりもオブザーバブル距離のピラミッドを用いたコンパクト化の取り扱いが容易になることが期待できる。また、誤差付きリプシッツ順序の性質の証明で簡潔なものを得た。特に誤差が0の誤差つきリプシッツ順序が通常のリプシッツ順序を復元することの証明において対応関係に関するKuratowski収束を用いると見通しよく示せることが分かった。これらの結果については現在論文を執筆中である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 誤差つきリプシッツ順序と誤差付きのリプシッツ写像の関係性を明らかにできたため。今回の知見により、誤差つきリプシッツ写像を用いる議論が見通しよく理解できるようになる。
Strategy for Future Research Activity	引き続き，測度距離空間全体の空間についての性質を研究する．特に、確率論的な手法を取り入れてオブザーバブル距離のコンパクト化の空間における具体的な列の収束について考察することを検討している。