結び目のゼロトレースとスライス・リボン予想

• Project/Area Number: 22K13923
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Hiroshima Shudo University
• Principal Investigator: 田神 慶士 広島修道大学, 経済科学部, 准教授 (60778174)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2027-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2022)
• Budget Amount: ¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000); Fiscal Year 2026: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2024: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2023: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
• Keywords: スライス結び目 / リボンコンコーダンス / ゼロトレース / 結び目 / リボン結び目

Outline of Research at the Start

３次元空間に埋め込まれた閉じた紐を結び目という。お皿のような円板状の図形の淵には結ばれていない結び目が現れるが、この円板を４次元空間に持っていくとその淵が複雑に結ばれた結び目になることがある。このような結び目をスライス結び目という。スライス結び目は結び目と４次元幾何学の関係を記述する際に頻繁に登場しており、４次元の図形を理解する上で重要な対象とみなされている。
本研究ではスライス結び目の４次元的解釈の一つと言える、結び目のゼロトレースと呼ばれる対象に着目し、スライス結び目の性質を探る。

Outline of Annual Research Achievements

３次元空間に埋め込まれた閉じた紐を結び目という。お皿のような円板状の図形の淵には結ばれていない結び目が現れるが、この円板を４次元空間に持っていくとその淵が複雑に結ばれた結び目になることがある。このような結び目をスライス結び目という。スライス結び目は結び目と４次元幾何学の関係を記述する際に頻繁に登場しており、４次元の図形を理解する上で重要な対象とみなされている。本研究ではスライス結び目の特徴づけを与える予想「スライス・リボン予想」の解決と結び目のゼロトレースと呼ばれる対象の性質の解明を主目的としている。
当該年度では、まずゼロトレースに関する既存の結果の整理を行った。特に、微分同相なゼロトレースを持つ異なる結び目の構成方法として知られていた、アニュラスツイスト、双対化可能パターン、RGB図式の関係に関するMiller-PiccirilloおよびPiccirilloの結果をサーベイにまとめ国際論文誌に投稿した。
また、スライス・リボン予想への新たなアプローチとしてリボンコンコーダンスを用いた手法を取り入れた。近年、Agolによってリボンコンコーダンスは半順序関係を定めることが示された。これにより、スライス・リボン予想は結び目全体の集合とリボンコンコーダンスが定める半順序集合における最小限の存在問題と解釈できるようになった。この観点からスライス・リボン予想にアプローチすべく、極小元の発見に努めた。その結果、８交点以下の結び目についてその極小性を決定した。また強擬正ファイバー結び目が極小元であることを二通りの方法で確かめた。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

当初はゼロトレースの観点からスライス結び目の性質を調査する予定であったが、当該年度はゼロトレースに関する既存の結果の整理までしか進まなかった。そのため、自己評価は「やや遅れている」とする。しかしながら、リボンコンコーダンスに着目した新しい手法を取り入れ研究を進めたため、研究論文の執筆は順調に進んでいる。

Strategy for Future Research Activity

Agolによってリボンコンコーダンスが半順序関係を定めることが示されたため、リボンコンコーダンス研究に一つのブレイクスルーが起きた。そのため、２年目以降はリボンコンコーダンス関連の手法を研究に取り入れ進めていく。特に次の２点に注目して進める。
(1)リボンコンコーダンスに関する極小元の特定
(2)結び目のコンコーダンスとゼロトレースの関係性の探求
リボンコンコーダンスに関しては新たな結果が次々と発表されることが期待されるため、(1)に重点を置いて研究を進める予定である。