Global analysis of GKZ systems and new development of intersection theory
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22K13930
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
松原 宰栄 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (70834381)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2025: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2024: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2023: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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| Keywords | GKZ超幾何函数 / Feynman積分 / likelihood ideal / 交叉理論 / twisted cohomology / local cohomology / Mellin変換 / rigidity / GKZ系 / 超平面配置 / 代数統計 / 接続問題 / Stokes現象 |
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| Outline of Research at the Start |
申請者はこれまでの研究において、GKZ系の大域解析、(co)homology交叉形式に凸多面体の組み合わせ論的構造を導入した。GKZ系の接続問題を解くにあたっては、制限と延長の方法という新たな視点を導入した。また、神戸大学の高山信毅氏と共同で確定特異点型GKZ系の交叉形式を調べ、その計算アルゴリズムを確立した。
本研究では、これまで得られた知見を基に、不確定特異点型GKZ系に対する大域解析、交叉形式と凸多面体の組み合わせ論の関係を明らかにすることを目標とする。さらに、統計学と超幾何系の共通部分をも開拓していく。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究はGKZ超幾何函数と呼ばれる特殊函数の積分表示の理論を研究し、大域解析を進展させることを目標とする．昨年度までの研究に基づき，場の量子論におけるFeynman積分の満たす方程式系を超幾何系とみなす試みを継続した．また，常微分方程式のmoduli理論から定義される非rigid方程式というクラスの中に，GKZ系として記述可能なものを見出し，研究した．
1. 昨年度に引き続きSimon Telen氏（MPI MiS）との共同研究を行い，twisted cohomologyの微分差分方程式系としての記述を与えた．差分作用素の消去によってFeynman積分の満たす微分方程式系が得られる．この考察を進めることで，微分方程式系の特異点集合（より一般に特性多様体）を直接計算する，実験的なアルゴリズムを得た．計算できる例の限り，正しい結果を得るが，未だ証明には至っておらず，論文の発表には至っていない．
2. 線形常微分方程式の理論において，Katzによるrigidityの理論がよく知られる．適当に積分変換を行うことで，rigidな常微分方程式は自明な方程式に帰着する．積分変換を逆に追いかける事で，解の大域的挙動を理解することができる．
大島利雄氏（城西大学）との共同研究において，常微分方程式としてはnon-rigidであるが，Pfaff系としては大域解析可能な方程式のクラスを導入した．これはKnizhnik-Zamolodchikov系（KZ系），GKZ系の共通部分に属する方程式であり，古典的Appell-Lauricella F_D系の拡張でもある．このようなクラスの方程式系は，KZ系としてはrigidと呼ばれるべきものである．今後，KZ系のKatz理論,rigidity概念の構築がなされたとき，最も基本的なrigidな方程式の例となると期待される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
twisted cohomologyの微差分方程式系との関係，非rigid系とGKZ系の関係など，当初の計画に存在しない話題が進展した．当初の目的であった交叉理論についての研究，漸近解析は大きくは進展していないが，後藤良彰氏（小樽商科大学），Avi Steiner氏（TU Chemniz）らと交叉形式，相対twisted cohomologyについての，Francisco-Jesus Castro-Jimenez氏，Maria-Cruz Fernandez-Fernandez氏（ともにSeville大学）とGKZ系の漸近解析についての議論を継続している．このため，総合的に判断し，進捗状況をやや遅れているとした．
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| Strategy for Future Research Activity |
2024年度7-8月にMPI MiSを訪問し，再度Simon Telen氏と議論を行う．また，9月にMPI for Physics を訪問し，Feynman積分への超幾何系の応用を議論する．並行して前項目で記述した，後藤良彰氏（小樽商科大学），Avi Steiner氏（TU Chemniz），Francisco-Jesus Castro-Jimenez氏，Maria-Cruz Fernandez-Fernandez氏（ともにSeville大学）との議論を継続する．
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Report
(2 results)
Research Products
(21 results)
