Fourier解析的手法に基づいた確率微分方程式の近似理論の研究
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22K13932
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
永沼 伸顕 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 准教授 (60750669)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000)
Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000)
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| Keywords | 確率微分方程式 / ラフパス解析 / マリアバン解析 / 近似理論 / フーリエ解析 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究はランダムさを含む現象を記述するために用いられる確率微分方程式の解の近似の研究である。確率微分方程式の解を具体的に表示することは一般的にはできない。そのため数値的な解を得るためには近似解を考える必要がある。近似解を考える際には、近似解が真の解とどれほど近いかが問題となる。この問題に正確に答えることが本研究の目的である。特に本研究ではラフパス解析を用いて定式化される確率微分方程式の解に対して、フーリエ級数を用いて構成される近似解を考え、その誤差の評価や漸近分布の決定を行う。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は非整数ブラウン運動などのガウス過程を駆動過程とする確率微分方程式の近似解の誤差評価に関する研究を行なった。この研究はオイラー・丸山近似、クランク・ニコルソン近似、ウォン・ザカイ近似など多くの近似手法が提案され、それぞれの手法について詳細に研究がなされている。本研究では、ガウス過程の級数展開による近似過程を駆動過程とする確率常微分方程式から近似解を構成し、近似誤差の収束の早さや漸近挙動などを考察する。この手法はウォン・ザカイ近似に似た近似手法と言える。また、非整数ブラウン運動などのガウス過程を級数展開を利用して近似した場合の収束の様子はよく研究されており、収束の速さなどもよく知られている。本研究はこの研究の一般化と位置付けることができる。
確率微分方程式の近似の研究においてはラフパス解析が有効に働くことが知られている。駆動過程の重複積分を考えることがラフパス解析の肝であるが、近似誤差の研究においてもそれが肝となる。実質的には、元の駆動過程の重複積分と近似した駆動過程の重複積分の誤差評価が近似解の誤差評価につながる。実際、重複積分の誤差評価が得られれば、その後の処理のある程度の部分は先行研究に頼ることができる。
本研究ではガウス過程を複数の方法を使って級数展開し、それらの方法の間の共通点や相違点を明らかにすることが目標である。またそれらの手法の数値計算における有効性を理論的な側面からだけではなく、実践的な側面からも確認したい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度は、あるクラスに属するガウス過程を級数展開した場合を考察した。つまり、ガウス過程の重複積分と級数展開したガウス過程の重複積分の誤差がどのようなものかを考察した。本質的な部分では問題は解決していると思われるが、詳細が検討が必要な部分が多くあり、それらを検討するためにはもう少し時間が必要である。
また数値計算を行う際に使用する計算機の整備や計算技術の習得も行なった。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度は、ガウス過程の重複積分と級数展開したガウス過程の重複積分の差を研究した。これにより本研究の結果に関する見通しがついた。しかしながら最終的な結論を得るためには、そのほかにも検証するべきことが多く残っている。次年度は、これらの課題を検討し、最終的な結論を導くことを目標とする。この結論には数値的な実験結果も含まれる。今年度整備した計算機を用いて実験を行う。
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Report
(1 results)
Research Products
(2 results)
