| Project/Area Number |
22K13950
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 12030:Basic mathematics-related
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
荒武 永史 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (10934987)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2022: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 圏論的論理学 / モデル理論 / 層表現 / Costeスペクトラム / 局所表示可能圏 / 公理化可能性 / Feferman-Vaught-Comerの定理 |
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| Outline of Research at the Start |
本研究では、代数（あるいはより一般に構造）とその層表現の関係性を数理論理学の視点から明らかにすることを目標にする。具体的なクラス（等式クラスや半順序環など）に対してはすでに多くの研究がある一方で、「構造のクラスがいつ層表現を持つか」「構造が層表現を持つときに層の性質が元の構造にどの程度引き継がれるか」という問題については、一般的な設定では未開拓の領域である。そこで本研究では、圏論的論理学とモデル理論の研究手法を相補的に用いることで、層表現を持つ構造のクラスの公理化可能性といった新たな問題に取り組む。そして、代数学や数理論理学への応用を試みることで、数理論理学と数学との橋渡しを目指す。
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| Outline of Annual Research Achievements |
Comerの定理の一般化の方針が困難であることが2022年度の研究で判明したので、2023年度は「T-モデルの層の大域切断として表現されるようなモデル全体のクラスの公理化可能性」というより大域的な現象に関する問題に取り組んだ。本研究では、既に一階述語論理で公理化可能であることが知られている具体例において、層表現を構成するCoste随伴が冪等随伴であることに着目し、一般に「Coste随伴が冪等なときに大域切断として現れるモデル全体のクラスが公理化可能」であることを証明することに成功した。本研究で得られた結果は、層表現の底空間に制限が無くさらに関係記号を許すようなモデルも考察対象としている点で、類似のクラスに対する公理化可能性の先行研究とは一線を画している。また証明の手法も、圏論的モデル理論の技法と研究代表者のこれまでの研究手法を組み合わせたものであり、これまでにない方法で公理化可能性を証明している。当該成果については、国内集会CSCAT2024で圏論コミュニティ向けに報告をして現在論文を準備中である。
また、2022年に発表したCosteスペクトラムの別構成についての論文がJournal of Pure and Applied Algebra誌から出版された。同論文の内容については、International Category Theory Conference 2023にてポスター発表を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究開始当初の予想に対して一定の肯定的結果を得ることができたものの、冪等性という仮定が必要なため予想したものよりも一般性が失われてしまっている。また、公理化可能性の部分についても、具体例で見られるような良い公理化を持つことまでは一般に示せていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は2023年度に得られた定理を改良を試みつつ、具体例への応用を模索する。特に、定理における冪等性の仮定を外したり、良い公理化を持つことを示せないか試みる。
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