Development of a new two-fluid model with rotational angular momentum conservation for superfluid helium-4

Research Project

Project/Area Number	22K14177
Research Category	Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
Allocation Type	Multi-year Fund
Review Section	Basic Section 19010:Fluid engineering-related
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	都築怜理東京大学, 先端科学技術研究センター, 講師 (60822153)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2027-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000) Fiscal Year 2026: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000) Fiscal Year 2025: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2022: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Keywords	古典系と量子系の等価性 / 超流動ヘリウム４ / SPH形式 / 量子格子 / 量子渦 / 回転BEC / 量子流体力学 / 粒子法（SPH法） / 並列コンピューティング / 極低温工学
Outline of Research at the Start	超流動ヘリウム４の流体挙動は、非粘性流体と非圧縮性ナビエ・ストークス方程式から構成される二流体モデルによって現象論的に記述されるが、古典二流体モデルでは量子効果に起因する渦格子などの特異な現象の再現は難しい。申請者が開発した自転角運動量保存型の二流体モデルはこれらを打破する手法として注目を集めている。本研究ではSPH法の高精度化と分子動力学的モデリングにより二流体成分の分離モデルから混合モデルへとスケールする改良モデルを開発する。バルク状態の量子流体の数値計算を実現し、古典系と量子系を繋ぐ統一的な流体計算スキームの学術的基盤を構築して、低温工学におけるシミュレーション技術の発展に貢献する。
Outline of Annual Research Achievements	最近の我々の研究では Smoothed Particle Hydrodynamcis（SPH）に基づく超流動ヘリウム４の二流体モデルの完全古典力学的近似が、特定の条件下で多体量子力学方程式を解くことと同等であることが示唆されていた。本研究ではこの等価性の存在を理論的に検証した。はじめに、二流体モデルの超流動成分の運動方程式（温度勾配項を含む非粘性流体の運動方程式）、すなわち、Gibbs-Duhem 方程式で得られる化学ポテンシャル勾配によって駆動される運動方程式の SPH 形式を導出した。次に、Gross-Pitaevskii（GP）理論に基づく凝縮体の運動方程式、すなわち、相互作用するボソン系の非線形シュレーディンガー方程式から得られる化学ポテンシャル勾配によって駆動される運動方程式の SPH 形式を導出した。これらの 2 種類の SPH による離散化式を比較した結果、熱力学的な観点で各流体粒子の内部エネルギーがゼロであることを条件とすれば、量子圧力が無視できるような密度変化が穏やかな場合に両者の離散化式の等価性が保証されることが判明した。また、量子圧力が無視できない場合であっても、量子圧力勾配力と相互摩擦力が等しければこの等価性が保たれることが示唆された。「内部エネルギーがゼロ」の状態とは熱力学的なマクロな視点に基づいた状態を意味している。便宜上これを「熱力学的基底状態」と呼ぶことにすると、この熱力学的基底状態には量子力学的な視点で見た場合の素励起状態も含まれるので、流体粒子の速度がランダウ臨界速度を超えない場合に十分に満たすことができ、実験室系の数 cm・s-1 の特性速度を持つ流体現象に対しては厳しい条件とはならないことが理論的に明らかになった。以上を踏まえ、超流動ヘリウム４の回転問題に対して SPH シミュレーションを実施し、2 次元量子格子現象の再現に成功した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 1: Research has progressed more than it was originally planned. Reason 温度勾配項を含む非粘性流体の運動方程式とGP方程式から導出される量子流体方程式が SPH形式において等価となる条件が存在し、その十分条件とは密度変化が穏やかでかつSPH における流体粒子の速度がランダウの臨界速度を超えないことであるということが本研究により理論的に明らかになった。これは当初には予想していなかった極めて重要な知見である。ここで、流体粒子とは連続体である液体ヘリウムを有限粒子近似（粒子離散化）した際の離散化点（フラグメント）であって、現段階では量子力学的な意味を持たない仮想粒子を指している。本研究では液体ヘリウムをこれらの二種類のフラグメントの混合状態と仮定し、それぞれが非粘性流体の運動方程式と非圧縮性ナビエストークス方程式に従うという描像のもとで方程式を解いている。この際、流体粒子の自転角運動量が保存することを要請した上で方程式系を SPH形式で表して液体ヘリウム４の回転シミュレーションを実施すると渦格子現象を再現できることについてはPhysics of Fluids 33, 087117等ですでに報告していた。しかし、その理論的な妥当性については十分に議論されていなかった。本研究により、SPH 法の離散化形式においては、前述の密度と速度の条件が満たされる範囲内においては非粘性流体の運動方程式とGP方程式から導出される量子流体方程式が等価となることが示され、二流体モデルにおいて非粘性流体の運動方程式と非圧縮性ナビエストークス方程式を連立して解くことは、量子流体方程式と非圧縮性ナビエストークス方程式を連立して解くことと等価であることが明らかになった。同条件下では当初想定していた分子動力学モデリングは不要であることが判明し、モデル開発のコストが削減されるとともに自転角運動量保存型の二流体モデルの妥当性がより強く示された。以上により期待以上に進展していると言える。
Strategy for Future Research Activity	研究開始当初は、分子動力学的なモデリングを導入しないと古典流体力学における圧力などの流体作用力から量子多体系の相互作用力に接続するモデルをつくることは難しいと考えていた。しかし、本研究により SPH 法を用いた特定条件下では温度勾配項非粘性流体の運動方程式と GP 方程式から導出される量子流体方程式が等しくなることが分かったので、その範囲内においては研究代表者の提唱する自転角運動量保存型の二流体モデルを修正する必要は第一次近似的には不要であることが分かった。この理由のひとつとして、 SPH 形式自体が多体相互作用系の表式をしている（ある粒子への作用が各粒子からの寄与の重ね合わせで表される）ことから、流体粒子の速度についての同条件を満たす範囲内では、明示的な表式の修正は必要なかったと考えられる。しかし、流体粒子の速度がランダウの臨界速度を超える場合や、密度変化が急な場合は今回の知見は適用範囲外であるため、それらの例外的な場合の分子動力学モデリングにもとづく二流体モデルの改良はやはり必要となる考えられる。そこで、次年度以降はそのような例外的な条件に対する量子多体系との比較や整合、一流体拡張モデル等と我々の二流体モデルとの理論的な対応付けも実施していく。また、当初の計画通り、計算コードの大規模化と高速化を図り、解析に使用できる粒子数を十分に確保できるようにすることで、2次元解析のみならず3次元の大規模システムを構成する超流動ヘリウムのSPHシミュレーションを実行できるよう進めていく予定である。