Control Theory and Algorithm Design for Nonlinear Systems Based on Finite Dimensionality of Holonomic Functions

Research Project

Project/Area Number	22K17855
Research Category	Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
Allocation Type	Multi-year Fund
Review Section	Basic Section 60020:Mathematical informatics-related
Research Institution	Osaka University
Principal Investigator	庵智幸大阪大学, 大学院情報科学研究科, 助教 (00908410)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2025-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2022)
Budget Amount *help	¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000) Fiscal Year 2024: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000) Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2022: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
Keywords	非線形システム / ホロノミック関数 / Pfaffian系 / 非線形制御 / 数式処理 / 代数的手法 / D加群
Outline of Research at the Start	制御対象の複雑化と制御目的の高度化に伴い，これらが持つ非線形性を活かすシステム制御理論の構築・実用化が求められている．従来の非線形システム理論は抽象化により多様な非線形性を取り扱える一方で，その成果は主に偏微分方程式を用いて記述され，具体的な問題に対して解くことが困難であった．本研究では，こうした解くことの難しい偏微分方程式に対し，ホロノミック関数と呼ばれるある種の有限性を持った非線形関数からなる解空間を構築することで，容易に解ける有限個のパラメータ決定問題へと帰着させる系統的な方法の提案を目指す．
Outline of Annual Research Achievements	本研究の目的は，Pfaffian系と呼ばれる偏微分方程式系の解空間がホロノミック関数と呼ばれる関数からなる有限次元ベクトル空間となることを活用し，非線形システム制御における種々の解析・設計問題を有限個のパラメータ決定問題へと帰着させる系統的な手法を提案することである．本年度の研究計画では，Pfaffian系の解空間の設計理論の構築を行う予定であった．まず本年度では，非線形最適制御理論における重要な方程式であるHamilton-Jacobi方程式の解を決定する問題が，高々有限個の代数方程式を満たすような有限次元ベクトルの決定問題に帰着できることを証明した．ここではハミルトン関数が時間に陽に依存しない場合を仮定していたが，その後，ハミルトン関数が時間に依存する場合に対しても拡張を行った．また，ホロノミック関数で表現される非線形システムに対して，その構成要素となるホロノミック関数全てを解空間に含むようなPfaffian系を用いることで，元の非線形システムの入出力関係を保ったまま別のシステムへと書き換えられることを示した．書き換え後のシステムはより単純な有理式で表現されており，かつ元の非線形システムの軌道に沿った有限次元線型空間のダイナミクスと解釈することができ，制御・推定アルゴリズムの設計における活用が期待できる．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 前述の通りホロノミック関数あるいはPfaffian系の解空間の有限次元性を活かす形の成果は出てきているものの，所望の性質を持つPafaffian系そのものの構成方法には踏み込めていないため．
Strategy for Future Research Activity	Pfaffian系は微分作用素環のイデアルから計算される．Pfaffian系の構成に関する理論的な見通しを立てる上では，Pfaffian系そのものよりも，その元となるイデアルの性質から論じる必要があることが分かってきた．また，イデアルの制限というものを考えることで，イデアル（つまり偏微分方程式）の解の局所的な性質を調べることができる．従来から研究されてきた線形近似を用いた結果とこのイデアルの制限を関連付けることで，線形近似システムに対する結果をうまく包含する形の成果が得られると期待できる．